密铺中的数学

日常生活中，我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）. 我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能够拼成一个平面图形.

一、 单一正多边形在一个顶点的密铺

1. 正n边形的内角度数

从内角和公式考虑：n边形的内角和等于（n-2）·180°，而正n边形的每个内角相等，则其度数为. 从外角和考虑：多边形的外角和等于360°，正n边形的每个外角相等，则每一个外角的度数为，所以正n边形的每个内角为180°-.

2. 能单独密铺的正n边形

几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角. 据此，单一正n边形若能密铺，则周角是正n边形内角的整数倍，即360°能被整除.

===2+

∵2+为正整数且n为正整数，

∴n-2为1或2或4，

即n=3、4、6.

因此，能够单独密铺的正多边形仅有正三角形、正四边形和正六边形.

现在，我们就能明白为什么不能用正五边形形状的材料铺满地面，原因是正五边形的地砖会留有不少缝隙.

3. 任意全等三角形，任意全等四边形也可密铺

我们已经知道，正三角形和正四边形可以单独密铺，其实，任意全等三角形，任意全等四边形也可以单独密铺. 由于任意三角形内角和都等于180°，所以6个形状大小完全相同的三角形就能密铺，如图1：

并且可以发现，三角形的每个内角在每个拼接点出现两次，且相等的边互相重合.

由于任意四边形的内角和等于360°，所以4个形状大小完全相同的四边形也能密铺，如图2：

四边形的每个内角在每个拼接点出现一次，且相等的边互相重合.

二、 两种或两种以上的正多边形在一个顶点的密铺

1. 边长相等的正m边形和正n边形在一个顶点的密铺

其实质仍然是围绕一点能否拼成周角. 设A=，B=，假设边长相等的x个正m边形、y个正n边形能够密铺，则Ax+By=360°（x、y都是正整数），若x、y存在正整数解，则可以在某顶点密铺，反之不能.

比如，用两种边长相等的正三角形和正六边形能否做平面密铺（在某一顶点处）？

假设可以用x个正三角形、y个正六边形进行密铺，则60°·x+120°·y=360°，化简得x+2y=6. 因为x、y都是正整数，所以只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形.

用类似的方法，我们可以发现正三角形和正方形可以密铺，正八边形和正方形可以密铺……

2. 边长相等的正m边形、正n边形和正p边形在一个顶点的密铺

同上，设A=，B=，C=，假设边长相等的x个正m边形、y个正n边形、z个正p边形能够密铺，则Ax+By+Cz=360°（x、y、z都是正整数），若x、y、z存在正整数解，则可以在一个顶点密铺，反之不能.

比如，等边长的正三角形、正方形和正六边形可以在一个顶点处密铺，等边长的正方形、正六边形和正十二边形也可以，有兴趣的同学可以去试试.

3. 四种及四种以上等边长正多边形在一个顶点的密铺

由于正n边形的每个内角为180°-，随着边数n的增大，内角也随之增大，即60°→90°→108°→120°→…，显然60°+90°+108°+120°=378°>360°，所以根本不存在四种及四种以上等边长正多边形在一个顶点的密铺.

同学们，数学来源于生活，生活处处有数学. 只要你我细心观察，你就能发现身边的数学和奥妙.

（作者单位：甘肃省兰州市兰炼一校）