一道课本例题的多解探求

学习7.2节时，我并没有满足课本上例题的一种解法，而是在自习课上想到了多种解法，下面是我的一些解法：

例 如图1，AB∥CD，∠A=∠D，判断AF与ED的位置关系，并说明理由.

教材上说明“AF∥ED”是利用“∠D=∠BED”“∠A=∠D”等量代换到“∠A=∠BED”实现问题的突破. 我首先想到的是利用“∠A=∠AFC”“∠A=∠D”等量代换到“∠D=∠AFC”，请看：

解法二：AF∥ED.

因为AB∥CD，所以∠A=∠AFC.

又∠A=∠D，可得∠D=∠AFC.

所以AF∥ED. 理由仍然是：同位角相等，两直线平行.

由于平行线的性质、识别方法除了基于“同位角”角度外，也可从“内错角”或“同旁内角”的角度来推导.

解法三：基于“同旁内角”的角度.

因为AB∥CD，所以∠A+∠AFD=180°.

又∠A=∠D，

可得∠D+∠AFD=180°.

所以AF∥ED. 理由是：同旁内角互补，两直线平行.

解法四：基于“内错角”的角度.

如图2，延长AF到G，因为AB∥CD，所以∠A=∠DFG.

又∠A=∠D，

可得∠D=∠DFG.

所以AF∥ED. 理由是：内错角相等，两直线平行.

反思：老师说几何问题往往有不同的求解方法，以前我总不以为然，通过这个例题的多种解法，我发现，几何问题确实很有趣，不同的思考角度往往都能达到最终的目标. 看来数学真是很奇妙，我还要多花精力去探究其中的奥秘！

刘老师点评：皇甫同学由教材上这道例题出发，基于“三线八角”（即同位角、内错角、同旁内角）的不同视角都获得了问题的求解，体现了对同一数学题求解过程中的“路径差”，这种“一题多解”“多解归一”的现象反映出数学问题求解的显著特点. 对这道例题来说，像皇甫同学这样从不同的角度思考确实能加深对平行线的性质、条件的深刻理解. 顺便指出，皇甫同学在“解法三”和“解法四”中呈现的基于“同旁内角”和“内错角”的思路，是不是可以找到对应的另外方法呢？就把这个追问或成果扩大留给热心的小读者吧！

（指导老师：江海人）