不可小觑的三角形中线

三角形中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.

三角形中线能带给我们的结论：

①若AD是△ABC的中线，则一定有BD=CD=BC，如图1.

②一个三角形有三条中线，交于内部一点O，如图2.

③若AD是△ABC的中线，则△ABC 的面积被AD平分，即S△ABD=S△ACD=S△ABC.

理由：过点A作AH⊥BC于点H，如图3，AH同为△ABD和△ACD 的高，所以S△ABD=BD·AH，S△ACD=CD·AH，又因BD=CD=BC，故S△ABD=S△ACD=S△ABC.

在初中数学的范畴里，中点是个非常重要的知识点，由它引发的各种习题不胜枚举. 记住中线的作用，既可以获得线段相等或者倍半的关系，又可以获得面积等分或者倍半的关系.

经典习题链接：

苏科版数学教材七年级下册第27页习题6

（1） 如图4，AD是△ABC的中线，△ABC和△ABD的面积有怎样的数量关系？为什么？

（2） 你能把1个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形.

【思路引导】

（1） 由前面第③个结论可得S△ABD=S△ABC.

（2） 既然一条中线可以平分面积，那么在已经是一半面积的三角形中，可以继续利用中线完成二次平分，也就实现了将原三角形面积4等分，如图5或图6.

【注】作图方法不是唯一的，因每一次平分都可作三角形任意一条边上的中线，在本题（1）问的情况下作图就共有27种方法，同学们有兴趣可以自己尝试画一画，这里不一一列举.

【变式提升】

1. 如图7，△ABC中，D是AC边的二等分点，E是BC边的四等分点，F是BD边的二等分点，若S△ABC=16，则S△DEF=______.

2. 如图8，在△ABC中，D是BC的中点，S△ABC=16，则S△ABD=______.

E是AD的中点， 则S△EBD=________.

F是BE的中点， 则S△BCF=________.

G是FC的中点， 则S△EFG=________.

3. 探索：在如图9至图10中，△ABC的面积为a.

（1） 如图9，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA. 若△ACD的面积为S1，则S1=_______（用含a的代数式表示）；

（2） 如图10，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE. 若△DEC的面积为S2，则S2=_______（用含a的代数式表示），并写出理由；

（3） 在图10的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图11）. 若阴影部分的面积为S3，则S3=_______（用含a的代数式表示）.

【发现】像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图11），此时，我们称△ABC向外扩展了一次. 可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍.

参考答案：

1. 3 2. 8 4 4 2 3. a 2a 6a 7

（作者单位：河北省秦皇岛市第十六中学）