“反比例函数的图象及性质”课堂实录及评析

姚吉祥 王建军

【摘要】反比例函数的图象和性质是学生函数学习的重要内容，本文以教师真实的课堂教学为线索，从学生描点画反比例函数的图象开始到归纳性质，并应用性质解决有关问题。在教学过程中教师关注知识的形成过程，注重对数学学习方法的指导和数学思想的渗透，学生自主探索、合作交流，真正体现了新课程的理念。

【关键词】反比例函数 图象 性质 课堂实录 评析

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）01-0152-02内容和内容解析

反比例函数的图象和性质是函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。主要内容是画反比例函数的图象，让学生结合实例，通过描点法（列表、描点、连线）经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，初步认识反比例函数的图象特征，逐步明确反比例函数的直观形象，为学生探索反比例函数的图象和性质提供思维活动的空间。

基于以上考虑可以确定本课时的教学重点：画出图象，理解并掌握反比例函数的图象和性质。

目标和目标解析

1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会用描点法画反比例函数的图象。

2.经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，渗透数形结合的思想方法。

教学问题诊断分析

学生在前一阶段已经学习过有关函数的知识，在实际生活中已经有对一次函数及正比例函数关系、图象及应用的初步认识，知道研究函数的一般方法，但对反比例函数还是第一次接触，学生对本节内容学习的第一个困难是从画一次函数的直线到画反比例函数曲线的转折。第二个困难是对反比例函数性质的归纳，特别是从有限到无限的认识，在课堂上让学生反复作反比例函数的图象，积累一定的经验，为性质的探索归纳打下良好的基础。

根据以上分析，确定教学难点：通过分析反比例函数的解析式，如何对称的选取自变量的值，尽可能得到函数图象的全貌，从而数形结合地归纳函数的图象和性质。

点评：通过回忆一次函数的相关知识让学生对将要学习的反比例函数作好知识上的准备，更为重要的是通过教师的有效提问引发学生对函数问题研究的一般方法的思考，起到画龙点睛的作用。

二、实际操作，认识反比例函数的图象

师：请同学们画反比例函数图象，为了使图象更准确一些，列表时怎样取点，描点时注意些什么？下面请大家用8分钟的时间，小组同学之间互相交流，互相检查、纠错。如果没有问题，就继续画学案上的y=和y=-的图象。

（学生互相检查，纠错，并请两个组的同学在黑板上画y=和y=-的图象。）

师：刚才已经有两个组的同学在黑板上画出了y=和y=-的图象，下面请他们来给大家讲解一下在画图过程中应该注意一些什么？

生1：大家请看图象，我们组认为在画图时应该注意以下几点：（1）因为自变量x不等于0，所以x的值不能取0，可以取正数或者负数，最好都取一些，两边对称的取。（2）在描点时要注意点所在的象限不要搞错。（3）连线时要按照自变量从小到大的顺序用光滑的曲线依次连接，不能连成折线。

生2：因为自变量可以取无数个值，所以曲线两边要延伸出去。

师：很好，在我们还没有认识这个图象之前，当然是点取多一些图象会更准确.我们知道自变量x不能等于0， 请大家思考：y的值可以等于0吗？

生3：y不等于0，因为k值不为0。

师：若x≠0，函数图象上会有什么影响？为什么？

生4：图象不与y轴相交，因为纵轴上的点横坐标都为0。

师：若y≠0，函数图象又会有什么特点？为什么？

生5：函数图象不与x轴相交，因为横轴上的点纵坐标都为0。

师：观察函数图象的延伸趋势和表格所列的点的坐标的对应值，你有什么发现？

生6：函数图象与x轴、y轴无限接近。但不会相交。

师：考虑y=的图象为什么只在第一、三象限？

师：大家说得非常好，通过刚才同学们的讲解，我们知道了画反比例函数图象时应该注意的问题，下面大家修改一下你们所画的图象，并继续完成y=和y=-的图象。

点评：在这个环节中，既让学生动手操作，又让他们分组交流，这样既培养了他们的动手能力，又增强了他们的团结合作的意识。这个环节的学习使同学们知道函数的图象是由函数的解析式决定的，初步体会数形结合的思想，而且本环节的结论主要有学生来发现，体现了新课程理念的精神。

三、合作交流，探究反比例函数的性质

师：画完的同学看学案背面的思考题：

思考：1.反比例函数y=与y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？

生1：共同特征是：它们都是由两条曲线组成的，我们把它们称之为“双曲线”，并且随着x的绝对值的不断增大，图象越来越接近x轴，随着x的绝对值不断减小，图象越来越接近y轴。但是由于x，y值都不能为0，所以它们都不与坐标轴相交，只是接近。

师：这两个图象之间有什么关系呢？

生2：这两个反比例函数的图象既关于x轴对称，又关于y轴对称。

师：能否从坐标上说明一下？

生3：我们看表格里的数据，发现这两个函数所取点的对应值，当横坐标相同时，它们的纵坐标互为相反数，说明这些点关于x轴对称；当纵坐标相同时，横坐标也互为相反数，说明它们关于y轴对称。

师：很好，观察非常仔细。再请大家观察所作函数图象，你能类比正比例函数性质，总结出反比例函数y=（k≠0）的性质吗？

学生发表各自的意见，归纳形成共识。

（幻灯片显示）反比例函数的性质：

1.反比例函数的图象是双曲线；

2.当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

3.当k<0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

点评：反比例函数的性质是在函数图象的基础上归纳得到的，有关的方法学生在学习一次函数时就已经体会到。

四、尝试练习，巩固提高

1.函数y=的图象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而_________。

2.函数y=-的圖象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而________。

3.函数y=，当x>0时，图象在第________象限，y随x 的增大而_________。

4. 对于反比例函数y=，下列说法正确的是（ ）

A. 点（-2，1）在它的图象上

B. 它的图象经过原点

C. 它的图象在第一、三象限

D. y随x的增大而减小

点评：这一组练习涉及本节有关反比例函数的图象和性质，目的是要检测学生对本节的反比例函数知识的掌握程度。

五、梳理小结

1.通过本节课的学习你有什么收获？

2.在知识的应用过程中需要注意什么？

3.还有哪些问题没有弄明白，需要请教？

点评：师生通过点睛式的小结，让学生对反比例函数从知识、能力、方法上进行提升，更显学生主体地位，学生自主学习积极性得以保护。

总评：在本节课的教学中，教师将学习的主动权交给学生，课堂始终在学生自主探索、合作交流的气氛中进行，同时教师也主动的参与进去，把自己也当成了教室里的一员，真正体现了新课程的理念。从本节课整体来看，本节课有如下的特点：

1.教师的切入点、关键点、和发散点抓的非常准。

2.关注了学生获取知识时，主要是关注知识的形成过程。

3.注重了数学思想方法的培养和注重了对学生学习方法的指导。