极限理论在太极数学公理系统中的理论位置

武家林

【摘要】问世于五代和北宋之交的太极图是《周易》中太极理论在数学方面的升华版.自此，太极理论不仅有数学命题陈述，即“是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”（《周易·系辞》），且有图像对于太极动态坐标系的精确揭示和表达.通过长期思考和研究，论者认为它是整个数学领域中迄今为止还未被认识到的至简数学公理系统，简称为太极公理系统.其分析性符合西方数学分析的概念，而且表现更为通透，贯穿整个系统.反言之，这个系统具有容纳所有的数学分支理论的公理完备性.每个数学分支理论都可以在其中找到自己所处的体系位置.本文不可能就整个太极公理系统进行论述.因此，本文选取了数学论域中具有经纬贯穿性的基础分支理论—极限做为本文的论题.可收见微知著之功效.极限是变量数学的基础性概念.可以说没有极限就没有变量数学.然而，迄今数学的极限理论源自和定型于西方数学知识体系.它侧重于极限视域和论域中推理技术方面的推理连续性和表达精确性，而在数学总体视角下对于数学整体性的思考却明显先天不足.在这一方面，太极公理系统则可以起到欧氏几何公理系统所不具备的重要功能.因为太极公理系统的图像太极图本身就具有整体性.只有整体性加上分析性，分析才具有体系性和贯穿性.总而言之，太极公理系统可以为包括极限在内的各分支理论作出分析性的明源清流的解释和说明.

【关键词】太极公理系统；欧氏几何公理系统；极限；牛顿二项式及其展开式；圆点转化公式；对于两个重要极限的公理化解释

题解 本文主题是极限理论在太极公理系统中的理论位置.因此，有必要对于太极公理系统以及极限理论这两个概念及其相互关系稍作必要的解释.太极公理系统符合西方数学界对于公理系统的四项要求，并不另搞一套规则.这四项要求分别是，自洽性，独立性，完备性，和初始公理的自明性.前三项要求在目前通行的公理系统中都具备，而第四项要求则不都具备.第四项要求为亚里士多德在《工具篇》中提出.论者认为它很重要.它是为一个公理系统的正当性和合法性进行辩护的基础.太极公理系统是以太极图为本，通过后续的连续和分门别类的分析，而发展成为分析体系.太极图具有不证自明性和整体性.这是太极图和其他数学公理系统包括欧氏几何公理系统相比所具备的独有性质.在接踵的分析过程中太极图的丰富内涵得以形式化地展开，并且通过枢纽的方式和现有各分支数学理论相汇通.极限理论就是枢纽的组成部分.其定义在这里不必重述和做过多的解释.现在需要明确的是，极限理论处于太极公理系统的哪个具体位置上.在太极图的自明性之后随之而来的是以数学术语所陈述和呈现出来的初始公理.太极公理系统初始公理内涵有形和数两个元素.形和数的关系就构成了太极公理系统初始公理的内容.其内容是形数相互为根（树形之根），形数相互分别自立，和形数相互为对方作出解释，可简化为形数互根、分立、和互释.在形的方面有两个基本元素，即圆和点.圆和点具有相互转化的关系.极限理论所反映的和表述的正是圆和点相互转化的关系.圆和点的相互转化现象渗透在整个数学领域中.刚才提到极限在数学领域中具有贯穿性就是指的这个特征.下面就对于极限理论在太极公理系统中的理论位置进行证明.

正文

太极图图形.自北宋（960—1127）之后太极图图形因其简单易记已经逐渐通俗到广为人知，甚至近世达到以符号方式广泛流播域外的程度.为了节省篇幅，本文没有必要呈现出其图形.因为，知之者脑中已经有之，而不知者亦易从互联网中按词索骥得到.

本文以下分为四步进行证明.第一步，证明一个基础命题，圆至大仍为圆，而圆至小则为点.在此步提出圆点转化公式.它是其他三步证明的基础.第二步，证明变量数学函数重要极限之一，limx→0sinxx=1是圆点转化公式的内向补充.第三步，证明变量数学重要函数极限之二，limn→∞1+1nn=e是圆点转化公式的外向扩展.第四步，证明牛顿二项式展开式中蕴含着命题：无穷大点集的极限为圆是通往非欧几何、级数理论、和拓扑学的基础.下面逐步陈述之.

第一步.证明命题：圆至大仍为圆，而圆至小则为点.此命题源自《庄子·天下》‘至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一.圆和点都是太极公理系统中的初始概念.它们鲜明醒目地标识在太极图上.太极图上有三个圆，一大两小.大圆在太极图的最外缘，是显性的，而两小则是阴阳鱼的鱼头部分，是隐性的.太极图上的点分别是阴阳鱼的两颗眼睛.太极公理系统中最基本的元素就是圆和点.而太极图中间分别开阴阳鱼的曲线则是点集的一种形态.

从证明的第一步，就开始显现出中西数学在起步和基础层次上的分野.圆在中西数学理论中的公理性地位具有鲜明的反差.在以欧氏几何为代表的西方数学公理系统中，是以点线面体为序进行逐步定义展开的逻辑程序.在这个程序中，显然缺乏基于视觉产生出的整体性和自明性，所以圆不在初始公理的位置上.与此不同的是，太极图中的圆处于初始公理的位置上.顺便说一下，西学中的公理，在中学传统中的对应概念是天理.显然，因为没有抓住圆在初始公理中的地位，欧氏几何公理系统内部各构件之间具有离散性，所谓系统二字对于它自身而言就是皇帝的新衣，而太极公理系统才真正具有系统性，且是动态性的系统性.

以圆为中介，圆至大和点之间必有关系.从圆至大到点的变化规律由太极图中阴阳鱼的动态变化可以揭示出来.当然，这个动态变化需要借助于思想者的推理活动来实现和完成.

其变化规律的数学表达式为，以牛顿二项式为基础加以适当变化而成的等式，1（a+b）n=点，（n→∞）.此表达式称为圆点转化公式.这个公式可以用求极限的方式来表达，即limn→∞1（a+b）n=点.

圆点转化公式中左边分式中的分子数值1的所指是圆至大.这符合《庄子·天下》‘至大无外，谓之大一的观点.但是它也可以置换为任意圆.这是因为圆的大小和其性质无关.分母是牛顿二项式.为了解释清楚牛顿二项式在此处的理论功能，在这里必须插入一个新概念，赋义.

赋义概念为论者原创，是迄今数学中所没有的.所谓赋义是指，对于代数式中的字母给予确定的形的含义，或者所指之形.它和逻辑学的赋值功能异曲同工.但是，不能把赋义和赋值合并.因为赋义专门指对于代数式中字母含义中有关形的所指.这和值的概念中蕴含数的性质或者逻辑真值的性质不同.在本步骤中，括号中的a和b分别赋义为太极图中的两个包含着次生圆的阴阳鱼.而在其他情况下，a和b赋义会产生变化，后文中会出现.随着太极圆从原单位圆衍生出n次生阴阳鱼的过程不断反复进行，乃至无穷，此分式的极限就是所有的无穷大次生阴阳鱼转化为点，用极限公式表达就是，limn→∞1（a+b）n=点.其运算过程如下.

将圆点转化公式两边均除以点，变形为，1（a+b）np=1，分母中的p是点的英文词汇point的词头p，使用这种方法是和通行做法接轨，指代概念点，然后求，当n→∞时此式的极限，于是得1∞p=1，从这个公式可以分析出，分母∞p是无穷大点集，因为此分式的分子和分母的比值等于1.无穷大点集在太极图解析中是很重要的基本概念，整理后，得∞p=1，注意！这里的1是分式的分子，不要把等式左右两边的1弄混，虽然数值都为1，但是，它们处于等式的不同位置，所以含义不同.根据圆点转化公式中的规定分子1就是圆至大，即∞p=圆.到此，运算证明完毕.

这是从单位圆顺遂太极图中圆中有圆之图义而求极限的过程.这个过程显示出太极图中的太极圆是动态的，而不是静态的.但是不幸的是，太极图长期以来被静态化了.其静态化就是一把大锁，锁住了横亘在太极图表象和深湛数理蕴含之间的大铁门.太极理论不被世界数学界重视，即使据说丹麦量子物理学家尼尔斯·玻尔对于《易经》有所感悟1，就是源于静态化地看待太极图.牛顿二项式就是打开这把大锁的钥匙，可以点石成金.对此，世人更是难以认识到.

这里对于点的概念有三个解释.其一，公式中的点符合欧氏几何对于点的定义，点只有位置而无大小.做为圆至小无内的极限，只留下了个位置在圆中.位置这个概念具有时空的蕴含.其二，如刚才上面所说，必须把太极图视为动态的，才具有从圆到点转化的基础.其三，只有存在着圆至大和圆至小两个概念，点作为极限才能够存在.这是践行语言哲学中的基本原理，只有体系性地定义概念，概念的定义才会有效.

牛顿二项式，通过赋义的中介，它在太极图演化中的描述和解释具有形式化中枢的功能.它体现了结构功能理论的精髓.它也是辩证规律，‘太极分两仪的数字化的体现.这一点揭示出辩证规律隐匿在数学之中的端倪.这也是对于中国缀文形式中对仗和骈文现象丰富和突出的最终解释.

牛顿二项式的问世并非牛顿一人之功.其中有中国人，阿拉伯人，和其他欧洲同仁的功劳.而最早作出在这项贡献的中国人贾宪（生卒年不详，大约生活于十一世纪的北宋）和杨辉（生卒年亦不详，大约生活于十三世纪）已经被载入数学史中.此处特别提到这他们并不是为了争夺二项式的发明权.这样做没有任何意义.提到他们是因为论者有一个猜测：他们的三角理论如果有所本，或者受到什么启迪，和有什么深厚思想传承，那么就非太极理论和太极图莫属.

以上所求极限可称为从圆至点的极限.这个极限可以把微积分学中的现有的两个常识性重要函数极限整合统一起来.统一的线索是，在从圆至点的极限过程中，直径和圆周扮演着重要的角色.而在现今的数学分析中，它们的角色远没有这么重要.

第二步，先证明推导过程简单些的重要极限一，limx→0sinxx.这个极限可以说是圆点转化公式的内向补充.在以下的陈述中必须提到上文中已经提到的形和数两个初始概念.在圆点转化公式中，数学公式起着台前作用，而形隐匿在台后，通过赋义后才为人所知.两者处于分立状态.在目前这个极限中，sinx使形走到台前来，直接显示出太极图中所蕴含的形数互释原理.sinx的构成要素就有直径和圆周.只不过，这种现象为人熟视无睹而已.

依据一般教科书中的讲义，这个分式中的分子sinx在三角函数中其对边变量值由y轴的数值显示，即sinx=y.进行等式变换，则可得sinxy=1.这个等式实际上已经预示着limx→0sinxx=1这个结果.但是由于分母x被定义为和sinx的圆周角相对的圆周长度，而并非对边变量本身，因此就存在着证明的必要.根据这个解释，可以把问题在本质不变而现象改变的情况下变成正弦曲线中的极值和π2长的圆周之间的比值.这样就可以提供另外一条证明的思路.它是这样的.

在圆中从无穷条直径中取任一直径，围绕直径有条以2π为周期的正弦曲线.这条正弦曲线上存在着两个极值，均在π2处，现在只观察其中一个足够.这意味着只观察半径和半个曲线之间的联动变化关系.令正弦曲线极值逐渐变小，趋向于零，伴随现象是原初仅有2π周期的正弦曲线变为2nπ（n→∞）周期的正弦曲线，这意味着所有数量以几何级数递增的正弦曲线的所有极值同时不断缩短和直径间的距离，在到达极限时，曲线不成其为曲线，成为和直径一样长短的线段.这个结果用极限公式表达就是：limx→0sinxx=1，这里的1是正弦曲线在到达极限时与直径的比值.对于这个结论还要做进一步的解释.否则因为其中有了置换，因而产生出是否增加了变元的疑问.如果是，就使刚才的证明归于无效.

在这个证明中，π2长的圆周实际上处于以曲线为形式的圆周上，因此没有实质性的改变，仍然是分母x.被置换了的是分子sinx.置换过程推导如下.sinx=y.正弦曲线的极值是y值在π2弧度角时的特殊值.这里的置换没有增加变元的问题.问题是，在直径处是否增加了变元？首先直接给出答案.直径是从极值趋向无穷小时的极限现象.如果说在直径处有变元，那么也是极值变化的结果，和圆至大可以转化为点同理，这是内生性变元，而非外生性变元.理解内生变元的正当性需要上面圆点转化公式的内涵来解释.

上面指出圆点转化公式的背景是阴阳鱼几何倍数的递增.如果仔细观察，这个递增过程是在直径上发生的.这是因为，最初的两只阴阳鱼的鱼眼处在一条直径之上，所以所有递增的阴阳鱼都处在同一直径上.阴阳鱼随着数量增多而个头梯次缩小.圆中并非只有一条直径，而是有无穷条直径，所以圆点转化共时性地发生在每条直径上.只不过，我们的研究专注在一条直径上，且为任意一条直径而已.以上过程实际上就是正弦曲线围绕直径所发生的事件.

回到相关极限的话题.从极值缩短而产生的直径不是由一个点产生的，而是由无穷个点共同构成的.因为上面提到正弦曲线随着极值的缩小变为2nπ（n→∞）周期的长度.也就是说所有极值不但和直径缩小距离而且它们之间的距离也在不断缩小.当极值到达其极限，极值就变为点，而且所有由极值化成的点因为相距密切而连成一线，即产生了和圆至大直径相重合的新直径.或者更准确地说，极值的极限就坐落在直径上.当然，这里必须分辨开由正弦曲线转化而来的直径和圆本原的直径，它们不是同一的，是因为重合关系而难以在视觉中分开.内生变元只有曲线极值数量的增加，而无外生变元那样质的变化.所以运算中的内生变元具有正当性.概而言之，上面的命题说：‘limx→0sinxx=1，这里的1是正弦曲线在极限时与直径的比值现在可以判断为没有疑问的结论.

以上对于limx→0sinxx=1极限的证明方法和教科书上的相比有两个优点.其一，具有整体直观性，而非部分，不必利用其他的定理和规则进行抽象推理.其二，和其他两个圆到点的极限形成内在的统一，使人有圆点转化机制的大局观和整体观.

这样完成了第二步的证明.

第三步，再看证明推导过程复杂些的极限二，limn→∞1+1nn=e.根据它，还有四个重要的推论随后衍生.这个极限可以说是圆点转化公式的外向性扩展，并且体用兼备.e从形来解释，它处于直径的延长线上.这是因为括号中两个数字1分别指代同一条直径上的两个半径，各自绝对值当然是1，其和应是2.

赋义的问题在这里的解释中又产生了.众所周知，代数式（1+1n）n是牛顿二项式的变形.其中字母a和b为什么可以变形为数值，并且都是1，必须给予交代.否则欠缺推理严密.不能仅以同构作为借口.本文对于a和b的赋义是，它们都是半径，不是第一个步骤中的阴阳鱼.

赋义后的情况应该这样解释，后一个半径被n分解，其不定值在和前个半径1相加之后，它们的和被n次方.虽然，n值无法确定，但是两个n在代数式中的不同位置上，起到相互制约作用，因此在不用确定n值和只要在n趋向无穷大的约束条件下，相互制约的结果竟然是其值等于无理数2.71828…数学界名之为超越数，即一种无理数，以符号e指代.它是自然对数的底.到此我们的思考不能算完.需要乘势向前.

显然根据赋义，e值大于直径数2.如果以取整数方式用大于e值的数值，比如说3，为直径再做一个圆，那么e就被排列在圆内的直径上了.根据这一点，上面才说这个极限是圆点转化公式外向性扩展.在这个扩展中，圆点转化公式中的圆至大必须置换为一般圆.因为一般圆允许圆外有圆或者圆内有圆，而非至大无外和至小无内.这一切都未脱离太极图图像的蕴含.

从对于e的扩展性解释，可以产生两个重要推论.其一，π是超越数的命题可以得到解释.其中道理很简单，以e长为直径做圆，那么，因为e为超越数，所以圆周和直径比值依据运算规则必定是超越数.其二，圆心位置测不准定律.其理也简单.依几何常识，圆心当在直径之中央，那么以e长为直径做圆，显然无法测准其直径e，即圆心的所在.这如同无法准确找到磁极两端的中央所在同理.保证这两个推理成立的重要根据是e的导数衡为e，即e的不变性和恒定性.这里需要注意，测不准不等于画不出.解释如下.

测出是用数字表达出的测量结果.画出是以直尺和圆规画出准确的位置.任意画条水平直线段，以直线段两端为圆心与小于直线段总长和大于直线段半长的线段为半径各画一个等圆，两圆必定相交，产生上下两点，两交点的连线和直线段垂直相交之处即是以直线段为直径做圆的准确圆心.

从以上两个推论还可以得到第三个推论.那就是π和e同时刻画了圆所具有的无理数性质，它们之间具有内在的统一性.至于统一性是什么，只能在以后的系列论文中再予交代了.

第四个推论是圆心测不准定律和量子力学中的测不准定理具有形而上和形而下相互参照和印证的功能.数学和力学之间的紧密关系超过了现在对于其程度的认识.

第四步.在上面三步的证明中，证明的核心是圆和点的动态关系.而在第四步中，核心则是围绕圆形和非圆形之间的动态关系展开.

虽然证明步骤中的核心有所改变，但是牛顿二项式的形式化解析中枢功能依旧.

在第一步中，在圆点转化公式的推理中得到等式，∞p=1，即无穷大点集的极限是圆.这个等式从习惯来看有些奇怪.这恰恰说明在习惯中漠视了形数之间互根的紧密关系.只重视了数，而漠视了形.在本步骤中对于牛顿二项式展开式的分析就能够进一步揭示形数互根的原理.

来看牛顿二项式展开式标准式，（a+b）n=∑ni=0cinaibn-i.标准式的左边是牛顿二项式，右边是二项式展开式.式中所有系数的组合形成帕斯卡三角.从太极公理系统的视角看，这个等式的蕴含就是圆形和内接三角形相等.这个判断太奇怪了！有无这种可能？有.首先是有据可查.等号是明证.其中的奥秘需要揭示.那么，就请看下面的解密.

圆形等于三角形这个判断需要加以精确化.需要在两个地方精确化.其一，只有在式中的n趋向无穷大时的约束条件下，其二，圆的周长和圆内接三角形的三边和等长，而并非模糊地相等.其证明推理过程如下.

把牛顿二项式展开式标准式，（a+b）n=∑ni=0cinaibn-i，变换为，（a+b）n∑ni=0cinaibn-i=1，取（n→∞）时的极限，这是∞∞型不定式.可以看出，它是圆点转化公式进一步的扩展.现在需要对于牛顿二项式进行第三次赋义.在做为分子的牛顿二项式括号中的a和b是直径两端与圆周相交的两个偶序点；分母中的a和b赋义同于分子的.每点数值为1.进行化简，得到分式2n∑ni=0cin.在n→∞的条件下，分子和分母都是无穷大，根据∞∞不定式运算规则，就有2n∑ni=0cin=1.

代数方面的证明完毕.下面需要证明其形释.

从形的方面来理解牛顿二项式展开式，就是它以数的方式来证明欧氏几何中三点定一圆的公理.证明过程中，首先需要无穷大点集的存在，其次把圆周和圆内接三角形都看作点集，最后求这两个点集在趋向无穷大时，它们所形成的比值极限.从上面的分子和分母可以分别看到，分子根据对于（a+b）的赋义都是点，注意，点是形的种类之一，而非是数，然后再赋值，都是1，而2n在n→∞时就是无穷大点集.而分母也是无穷大点集.两个无穷大点集的比值自然是1.要解释清楚为何内接三角形的无穷大点集可以与圆周相等需要非欧几何基础观点和集合论中无穷比较的知识.

先说非欧几何基础观点的解释作用.在非欧坐标系中，三角形的内角和不是1800，可以大于或者小于，这样三角形的三个角可以同时是钝角，或者锐角.如果圆内接三角形的三个角同时是钝角，那么其极限就是圆周，如果同时是锐角其极限就是圆心.这是因为在角度变大，或者变小时，边长也在随之同向变化，变化的两个相反结果必然其极限是圆周和圆心.从非欧几何的观念，牛顿二项式展开式等式的两边在无穷大的变化条件下它们之间的极限是1，这个命题可以算作功德圆满证明完毕.但是这个命题还可以进一步伸说.

再说集合论中无穷比较的解释作用.其实即使不使用非欧几何工具，圆内接三角形和圆周之间也可以通过集合论中无穷比较方法得到同势的结论.因为不论圆周还是内接三角形三边之和都是无穷大点集.做为无穷大点集，它们之间就具有同势的性质.两个同势的点集自然其比值等于1.

还可以进一步扩大圆内其他构件同势的范围.除了刚才已经提到的两个之外，即圆周和内接三角形三边之和，在同势的名单中，还可以加入直径无穷大点集和阴阳鱼无穷大集.这样圆就有四个同势的无穷大点集.

对于牛顿二项式展开式的形释可以对于级数理论的完善有所帮助.牛顿二项式展开式其实就是级数的基础理论.对比一下，牛顿二项式展开式的系数求和极限式中的∑ni=0cin和常数项级数的通项式∑∞n=1un，两者十分近似，只要对于其中的字母和数值加以改动，那么两者完全可以被统一进一个体系中.但是仅凭上面两个式子中数的相似性就断定它们可以被统一进一个体系中未免没有什么说服力.确实如此.不过，如果从形释的视角来理解，那么说服力就很强了.这是因为级数理论的形的基础也是割圆术.而割圆术的起始点应该是点和点集，是点集形成直径，其次是直径一分为二，形成正负两个半径.这两步都是准备阶段.真正的级数起点是圆内接三角形，它把圆周一分为三.然后，依次分割圆周的次序是递增自然数串中的每一项.在分割中形成规则性多边形.从多边形角度而言，三角形是其直接基础，任意多边形都可以还原为n个三角形的和数.从这一点看，牛顿二项式展开式完全可以把级数理论统一起来.

另外，它同样可以通向拓扑学.这里只能点到为止，不再详论.

戊.结论和知识论方面的意义：

结论有两点.

其一，通过以上对于极限理论在太极公理系统中位置的形式化推理性分析的陈述，可以得出结论：极限理论处于太极公理系统中的基础分析位置上并且贯穿整个太极公理系统.

其二，太极公理系统确实是圆融通透的数学分析公理系统.它具备统一极限理论的能力，因此符合公理系统的完备性，而非欧氏几何系统不具备.从这个结论可以判断出，太极公理系统比欧氏几何公理系统更基础，同时具有至简的优良品质.

最后，提示一点，从太极公理系统还可以直接分析出其他基础分支理论，例如坐标系理论.其实，只要稍加留意，就会发现三角函数的图像中存在着圆包裹着笛氏坐标系的现象.对于太极公理系统的分析潜力的全面认识需要系列论文或者专著一一揭示出来.

知识论方面的意义：上个世纪在西学东渐的大潮中，中国原型知识体系在世界知识领域中的话语权处于风雨飘摇的下滑惨境.太极理论和太极图中的深刻数理蕴含在本论文中的揭示，则将彻底改变中学在近世界一体化进程中的软实力方面的历史颓势.整个文明史证明和证实，数学是所有门类知识的基础.套用和翻新弗兰西斯·培根的名言，我们可以这样断言，数学知识就是最伟大的力量.当今的中国知识界应该全身心拥抱被自己百年前弃之如敝屣的自家珍贵数理资源，太极和八卦.八卦已经在两百余年前被莱布尼兹发掘出其知识价值，那么太极呢？站在高端和深邃的八卦太极数理平台上，中国和世界就会迎来更美好的明天.

【参考文献】

[1]见《百术吧》丹麦物理学家玻尔和《易经》条目.