线性代数在理工科专业课中的应用

李艳晓 邵玉丽

【摘要】线性代数是理工科专业的基础课程之一，但学生对线性代数在专业课中的应用却知之甚少.以机械设计、结构力学、自动控制等课程为例，分析线性代数知识在专业课学习中的具体应用，提高学生学习线性代数的兴趣以及应用知识的能力.

【关键词】线性代数；机械设计；结构力学；自动控制

线性代数作为理工科院校普遍开设的公共基础课程之一，这门课程不仅是继续学习其他数学课程的基础，更是学生学习相关专业课程的重要语言和工具.特别是由于计算机技术对工程问题线性化建模与离散数据处理方面的广泛应用，使得本课程的作用显得更为重要，通过对它的学习，可以培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数值计算能力和空间想象能力等.

目前，理工科院校使用的线性代数教材中，普遍以理论知识为主，从理论到理论，很少能有与实际生活或专业知识相联系的例子.对初接触线性代数的学生而言，很难从单调晦涩的专业术语中看到线性代数的实际应用价值，更体会不到数学中的美.而事实上线性代数这门课程的发展，概念和定理的产生，并非是抽象、枯燥的，而是伴随着一系列问题的产生和解决才形成的.本文主要以机械设计、结构力学、自动控制等课程为例，分析线性代数知识在专业学习中的应用，说明线性代数知识的现实意义.

一、线性代数在机械设计中的应用

在现代生产和日常生活中，机器已成为代替和减轻人类劳动、提高劳动生产率的主要手段.机器的主体部分是有许多运动构件组成的.一般被用来传递运动和力，有一个构件为机架，用构件间能够相对运动的连接方式组成的构件系统称为机构，而凸轮机构是机器中最常用的机构之一.凸轮机构设计的主要任务是凸轮轮廓曲线的设计.轮廓曲线的设计方法有几何法和解析法.用解析法求凸轮轮廓曲线上直角坐标的过程中要用到如下变换：

xB

yB=R-φxB1

yB1

其中[R-φ]=cosφsinφ

-sinφcosφ为平面旋转矩阵，这步变换将点B1（xB1，yB1）反转一个角度（-φ）得到点B（xB，yB），这说明矩阵乘法有特殊的意义，可以根据实际探求特殊矩阵.

二、线性代数在结构力学中的应用

《结构力学》是普通高等院校土木工程专业土建、路桥、水利类的一门专业基础课，结构力学课程在整个课程体系中处于承上启下的核心地位.结构矩阵分析方法以传统结构里学最为基础理论、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法.结构矩阵分析方法着眼于“电算”，而矩阵数学表达力强，运算简洁方便并且适于计算机组织运算，是用计算机进行结构数值分析的最强有力的数学工具.下面介绍线性代数知识在用矩阵位移法计算平面钢架中的应用.

在结构力学的计算中，通过采用对结点位移作为基本未知量，进而通过矩阵的形式堆各基本参数进行组织、编排，求出未知量的方法，称为矩阵位移法.用矩阵位移法计算平面钢架的步骤中：形成局部坐标系中的单元刚度矩阵k-e、形成整体坐标系中的单元刚度矩阵ke、用单元集成形成整体刚度矩阵K、用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载P等用到矩阵及矩阵的运算知识；根据方程组KΔ=P，求出结点位移Δ的过程中用到了矩阵的运算和非齐次线性方程组的求解.

三、线性代数在自动控制中的应用

《自动控制原理》课程是电气工程及其自动化专业的一门专业基础课.在现代控制理论的发展中，线性系统理论已成为较为完整成熟的理论.线性系统的状态空间法的主要数学基础是线性代数，用到矩阵、矩阵运算、矩阵秩、向量、二次型、方阵特征值和特征向量等.在状态空间法中，广泛应用向量来表示系统的各种变量组，其中包括状态向量、输入向量和输出向量.变量的个数规定为相应向量的维数.用x表示系统的状态向量，用u和y分别表示系统的输入向量和输出向量，则系统的状态方程可表示为如下的一般形式：

x·（t）=f[x（t），u（t），t]，

式中，f[x，u，t]为自变量x、u的线性函数，t为时间变量.对于线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为：

x·（t）=A（t）x（t）+B（t）u（t），y（t）=C（t）x（t）+D（t）u（t）

通常A（t）、B（t）、C（t）、D（t）分别为系统、输入、输出、输入输出矩阵.若A（t）、B（t）、C（t）、D（t）中的各元素为常数，该系统为线性定常系统，否则为线性时变系统.线性定常连续系统的完全可控性（完全可测性）判定用的是矩阵秩或PBH特征向量判据；李雅普诺夫提出的线性系统渐近稳定性判定的直接法（第二法）用到的李雅普诺夫函数是二次型函数.

四、结束语

线性代数为理工科院校的基础课程之一，它在理工科专业中的重要性毋庸置疑，但学生对于线性代数的学习还是停留在纯粹数学的认知上，因此，在线性代数的教学中，尽量和专业课结合，以解决专业知识的角度引入线性代数知识，使线性代数更通俗易懂，提高学生学习的积极性和兴趣.

【参考文献】

[1]杨家军，张卫国.机械设计基础[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

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