中学数学概率应用中的几种常见错误

周洪荣

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）01-0163-01

概率是新教材的一个重要内容，是衔接初等数学与高等数学的重要知识。这部分内容由于问题情境源于实际，贴近生活，所以学生乐学且易于接受；在实际中应用非常广泛，每年高考都占有一席之地。但它与我们以前所学的数学知识有所不同，求解此类问题虽只须加减乘除运算，但因思路灵活，题型繁多，结果不易验证，学生感觉易做但易错。再加上有些问题比较抽象，往往容易发生错误。下面就列举一些常见的错误类别，以提高同学们的辨别能力。

一、有关概率的一些基本概念含混不清致错

比如“互斥”与“对立”两个概念混淆不清，如果再混杂相互独立事件于其中就更难于分辨了。要准确解答这类问题，首先必须搞清楚互斥与对立事件的概念，事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。若A交B为空且A并B为必然事件，那么A和B就是对立事件。举个例子：从装有两个红球和两个黑球的甲口袋里任取两个球，那么下面哪些是互斥事件哪些是对立事件，哪些既是互斥也是对立事件呢？①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；③“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”；④“至少有一个黑球”与“都是红球”。我们来分析这个题目，他的口袋里总共有两红两黑四个球，题目中取出2个球，我们来逐一分析，“至少有一个黑球”包含了取出的球为一黑一红或两黑两种可能的结果，所以①的两个事件实际有包含关系在里头；“至少有一个红球”则包含了一黑一红或两红这两种可能的结果，因此②的事件有交集；“恰好有一个黑球”表明是一黑一红这一种结果，而“恰好有两个黑球”与之没有交集，所以③他们互斥，但他们的并集不是全集，因为他们谁也不包含两红的那种情况，因此③准确来说是互斥不对立的两个事件；实际上我们取出的两个球只会有三种情况，一红一黑，两黑，两红，④中“至少有一个黑球”包含了前两种，“都是红球”包含了最后一种，所以④的两个事件既无交集（互斥）且并集正好是全集。所以他们就是对立事件。

从这里我们可以看出，要准确区分这两个概念，必须搞清楚以下几个关系：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生且必须发生。互斥事件是针对一个实验的结果来说的。

二、有序与无序不分致错

关于有序无序问题，我们在排列组合中通常会遇到这个问题，其实在概率的相关题型中，我们也会遇到此类问题，并且在概率里的顺序问题更加有迷惑性不容易分清，同学们在解答中容易忽略，如何理清这个有序与无序问题呢，下面我就以一个常见題目为例，试着帮大家研究一下这个有序与无序的问题。例：甲、乙两人参加超市的抽签抽奖活动，共有8个不同的奖品，其中一等奖奖品5个，二等奖奖品3个，甲、乙依次各抽一签。求：（1）甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有1人抽到一等奖的概率是多少？