反证法与康托的对角线论证

李心晴

【摘要】 人类对于实数的研究，是经过许多卓越的数学家的努力，才能达到今天的水准，康托对集合论中的无穷集作出了突出贡献，他的对角线论证，是其中非常重要的里程碑.康托巧妙地通过抽象的论证，证明了自然数集与实数集大小的关系问题.

【关键词】 自然数集；实数集；无穷；反证法

对角线论证，可以回答的问题像是：给你无限长的时间，你能否把所有的实数数完？而判断能不能数完，本质上是在比较自然数与实数的多少.问题也就等价于探讨自然数集与实数集大小的关系.然而两个集合元素的个数都是无穷的，如何来比较它们之间元素个数的关系呢？看似没有头绪的问题，康托却巧妙地仅仅通过抽象的论证，就证明了这个看似无从入手的问题.

如何比较两个集合的大小？

讨论如何比较两个集合的大小，先从一个简单的例子说起，假设许多观众涌入一个礼堂，我们如何判断观众数和座椅数的关系？

第一种方法，数数法.在观众进来之前，我们可以分别数一数观众与座椅，然后将两个数字加以比较，如果这两个数一样，那么就说明观众与座椅数相等.但是这种方法仅限于集合元素可数的情况下，在无穷集是没有办法实现的.

第二种方法，一一对应法.观众进入礼堂后找座椅坐下，当观众全部进入以后，如果刚好把座椅全部坐完，那么人和座椅的数目就是相等的，在这种状况下，我们不用通过数数就可以判断两个集合之间的关系.而实际上，人们数数也是建立在这种一一对应的基础上的，数数是把人数或座椅数和自然数做的一一对应，一一对应的观念是比自然数的数数更基本的观念.

乔治·康托对这一概念作出了如下定义：

如果能够根据某一法则，使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系，那么，集合M与集合N等价.

为什么（0，1）之间的实数与全体的实数一样多？

将（0，1）线段弯成半圆弧形，圆心为O，半圆下面是一条无限延伸的实数线.如图所示.

因为圆弧是由（0，1）线段弯曲而成，所以上面的点仍然代表线段（0，1）上的点.从O点作一条射线，分别交圆弧于A1点，交实数线于A2点，则A1与A2就是对应的，同理可以看出B1与B2对应，C1与C2对应，而实数线无穷远处的点与圆弧的两个端点对应，这样整个圆弧上的点就和这条无限延伸的实数线上的点一一对应起来，这也就证明了（0，1）集合与实数集的大小是相等的，（0，1）之间的实数与全体的实数一样多.

为什么实数永远数不完？

判断实数能不能数完，实质是比较自然数集与实数集之间的大小关系，因为两个集合都是无穷集，所以用数数的办法是不可能办到的，而只能采用一一对应的办法.一一对应，也就是建立自然数与实数的对应关系，因为前面已经论证（0，1）之间的实数与全体的实数一样多，所以在这里完全可以用（0，1）之间的实数代替全体的实数集.问题转化为比较（0，1）集合与自然数集之间的大小关系.

康托的对角线论证，采用的是大家熟悉的反证法，首先假定区间（0，1）内的实数能够与自然数一一对应，然后，从这一假定出发最终推出逻辑矛盾.对应关系我们假设如下：从（0，1）随机取一个数记为a1与自然数1对应，然后再取一个数记为a2与自然数2对应，依此类推，我们不在乎实数被取到的顺序，而是只在乎最终产生的一一对应.为了讲清楚康托的论证，我们假定存在如下的对应关系：

按照假设所有的实数都被对应完毕，然而康托却找到了一个不在这个表列当中的实数，是我们漏掉的实数.他是这样找到的：X1中取小数点后第一位，X2取小数点后第二位，X3取小数点后第三位，依此类推，这样就得到一个数x=0.2116…下面我们只要做一下改变，就可以创造出一个不在这个表列当中的数，将X中小数点后每位的数都加1（特殊9变0，不用进位），这样就产生了一个全新的数（Xm=0.3227…）不在这个表列当中.这是因为Xm的小数点后第一位与X1小数点后第一位不同，Xm的小数点后第二位与X2的小数点后第二位不同，依次类推，这样可以看出产生的Xm与表列当中的实数小数点后肯定有一位是不同的，故Xm一定不在这个表列当中.由于假定的是区间（0，1）内的实数能够与自然数一一对应，一一对应是不可能产生不在这个表列当中的实数的，而实际却产生了这样的实数Xm，就得出矛盾.

康托对角线证法，巧妙地利用反证法，仅仅通过抽象的讨论就证明了这种一一对应的关系是不可能存在的.实数是永远不可能被对应完毕的，实数是不可数的.通过本文，笔者希望读者们在学习数学家思想的同时，对实数与自然数的关系有进一步的认识，对反证法的魅力有更深的感受，对数学的智慧有更深的领悟.