浅谈分层教学在“相似三角形”教学中的尝试

蒋剑

【摘要】 学生在学习过程中存在不可避免的个体差异，为了让各类学生都学有收获，尝试在课堂教学中进行分层教学：在同一问题中挖掘不同难度的问题尝试分层教学，在同一类基本图形下不同变式图形的分层教学尝试，同一问题背景下改动条件进行分层教学的尝试.

【关键词】 分层教学；相似；基本图形

“图形的相似”是八年级下学生学习的章节. 这一章的内容比前面的几何内容不管是在思维广度还是思维深度，对学生都提出了更高的要求. 它是全等的“一般化”，对两图形的约束条件从等角等边到等角、边成比例. 从完全一样的两个图形到形状一样的两个图形，单单从图形上就更难辨析出来.所以学生在学这一章节的时候，往往觉得有些吃力. 中等学生觉得题目千变万化，有些头绪不清；基础薄弱的学生就觉得无从下手，痛苦万分；而优等生又觉得有些意犹未尽，有点“吃不饱”的感觉. 为了解决这一矛盾，让各类学生在学习这一内容的时候都有所收获，我尝试着在课堂教学中实施分层教学.

因为受课堂教学空间和时间的限制，不可能在同一时间完全针对一类学生进行有效的教学，所以我就想到，只有在教学模式和教学内容上做文章，进行调整.于是，我在具体课堂教学中进行了如下的尝试.

1. 在同一问题中挖掘不同难度的问题尝试分层教学

这是教材安排在“相似三角形的基本性质”之后，用于巩固“相似三角形对应高的比等于相似比”的典型例题.我们可以从较为复杂的图形背景中找出△AHG∽△ABC，证出结论.

本题中由正方形条件可以马上得到平行，而平行是构成相似三角形的最基本图形.如果再给出图中一些线段的长度，就可以把这个三角形的内接正方形的边长求出来，而这也是一个很基本的题型.

问题1：如图3，在△ABC中，∠BAC = 90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.

分层问题1：若AB = AC = 1，直接写出MN的长.

这个问题可以让中下的学生思考.对引例中的三角形加强了条件，由原来的一般三角形变为等腰直角三角形.本题，要去证明△DBG和△EFC是等腰直角三角形，再由正方形的性质，可得BG，GF，FC三条线段等长，再利用引例中的结论可求出MN的长度.

分层问题2：求证MN2 = DM·EN.

这个分层问题由中上的学生思考回答.题中，还是在△BDG，△EFC这两个三角形上做文章，不过是要证明它们相似，得到BG，DG，EF，FC这四条线段的一个等积关系，再利用正方形四条边相等和引例中的结论，等量代换即可得证.

在一个大题的背景下，通过设置不同难度层次的问题，让不同层次的学生有针对性地思考，既避免问题太难让部分基础差的学生产生畏难情绪，也保证了部分优等生向思维深度发展.而且这两个问题本身也有一些联系，可以让全班学生在听了这两个分层小题的讲解后都有些许收获，说不定会让部分中等学生得到一些启发，得到灵感.

2. 在同一类基本图形下不同变式图形的分层教学尝试

原例2：如图4，点B，P，C在同一条直线上，且∠ABP = ∠APD = ∠C = 90°，我们可以得到结论：△ABP∽△PCD.

我们不妨把具备这种条件的图形叫作“一线三等角”型基本图形.本题把其中的三等角特殊化，让它们都为直角，难度降低，学生容易思考，可以利用余角定理证相似，便很容易得到结论.

分层问题1：如图5，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，∠EDF = 60°.求证：△BDE∽△CFD.

这个分层问题由中下学生思考回答.把原例中的3个直角变换为3个60°角，利用三角形内角和180°的性质，得到∠BED = ∠C，进而可证出相似.这个问题和原例相比，虽然图形形状略有不同，但同样具备一线三等角的条件，而且给出的是具體的度数，让中下的学生比较容易下手.

分层问题2：如图6，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD < BC，且AD = 5，AB = CD = 2，P为AD上一点，满足∠BPC = ∠A. ①求证：△ABP ∽ △DPC；②求AP的长.

这个分层问题可以由中上等学生思考回答.这个问题就没有给出具体的度数，只是给出三个角相等的关系，但只要抓住本质，利用等式基本性质即可得到另一组相等的角.

通过这几个例题的讲解，其实不管这三个等角的具体的度数也好，还是锐角、直角或者钝角也好，都能构造出一对相似三角形.只要抓住“一线三等角”这类基本图形的本质和特点，就能在更为复杂的图形中找到其中的相似，快速解题.下面再给出两张图形（图7，图8），都是与一边的延长线有交点，可以检验学生是否掌握对“一线三等角”基本图形的识别.

3. 同一问题背景下改动条件进行分层教学的尝试

原例3：如图9，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是

原题是位似在坐标系下的一个应用，因为位似中心并不在坐标系原点，所以对学生来讲还是有些困难.这个原题可以给中上等的学生思考回答.

为了让中下等学生也能感受一下位似在坐标系中的应用，我就把题目中的一个条件改了，就让点C成为坐标系的原点，其他条件不动（图10），学生也更容易入手解这个题目，很容易想到通过过点B，B′向x轴作垂线来解决.而一部分中上等的学生可能一开始也没什么思路，通过改动题的讲解，也容易打开思路，让这个改动题成了一个“脚手架”，帮助一部分学生攀登更高处.

学生的个体差异性是客观存在的，如何在有限的课堂教学中，让更广泛的、不同层面的学生在课堂学习中能有收获，既体现了义务教育的公正公平，又体现了对每名学生负责，让他们在美好的青春期学到更多的知识、技能和方法，为终身学习打好坚实基础，这也是我们教师能量和作用的最大化释放，个人价值的最大化体现.但是同时对我们教师也提出了更高的要求，不仅要求我们教师在备课中要充分考虑各层次学生的诉求，也要对原有的教育资源进行整合和再加工.但是不管如何辛苦，为了能更好地响应《2011年版数学课程标准》的颁布和实施，让人人能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，我们做这些尝试是完全有必要的，中间过程一定会有失败和挫折，但在不断地改进下，肯定会做得越来越好.