非奇异矩阵的几个刻画

王敏　陈建华

【摘要】 矩阵分解在理论研究和实际应用中有着重要的作用.基于矩阵分解理论，本文探讨了实数域上非奇异矩阵的几个刻画.

【关键词】 矩阵分解；非奇异矩阵；正定矩阵

【中图分类号】 O151.21

1.引言

将一个矩阵分解为若干个矩阵的乘积，叫作矩阵分解.矩阵分解是解决某些线性代数问题的重要方法，其技巧性、灵活性以及实用性都很强.任北上、刘君伟等探究线性代数的数学思想在矩阵分解中的应用及实现，从中说明矩阵分解的相关理论及应用.王岩、王世炎等通过例题阐述了矩阵乘积分解、矩阵和式分解等矩阵分解的简单应用及使用方法.邵逸民利用矩阵分解给出了秩等于1矩阵的结构，讨论这类矩阵在矩阵运算、对角化、标准型等方面的性质.基于矩阵分解理论，本文探讨了实数域上非奇异矩阵的几个刻画.

2.预备知识

矩阵分解主要包括三角分解、满秩分解、QR 分解和奇异值分解等.利用矩阵分解，关于正定矩阵有

引理1 设A是n实对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵B，使得A=Bk，k是正整数.

对于非奇异矩阵（即可逆矩阵），我们已经有了一些刻画：n阶矩阵A可逆的充分必要条件有：（1）行列式|A|≠0；（2）齐次线性方程组AX=O只有零解；（3）非齐次线性方程组AX=b有唯一解；（4）矩阵的秩r（A）=n；（5）矩阵的列（或行）向量组线性无关；（6）矩阵A的特征值都不为零；（7）矩阵A等于若干个初等矩阵的乘积；（8）矩阵A与单位矩阵等价等等.

联系矩阵分解理论，等价条件（7），矩阵A等于若干个初等矩阵的乘积就是非奇异矩阵的一种分解，它是初等行变换方法求逆矩阵的核心原理.除此以外，我们还可以获得以下几种刻画.

3.主要结果

定理1 设A是n实数矩阵，则A可逆的充分必要条件是存在Q是正交矩阵，D是主对角元大于零的上三角形矩阵，使得A=QD，且这种分解唯一.

证明：必要性显然成立.反之，在实数范围内，由矩阵的QR分解，则存在正交矩阵Q和实可逆上三角形矩阵D，使得A有QR分解式A=QD.

把A按列向量分块A=（α1，α2，…，αn），其中，α1，α2，…，αn线性无关.用施密特方法将αi正交化得β1，β2，…，βn，再单位化得γ1，γ2，…，γn.最终可得