走出“模式化”禁锢

范仁忠

圆锥曲线综合题因其多样的思路及繁难的运算让很多学生望而生畏.近年高考，“关注解题方向的选择及计算方法的合理性，灵活利用曲线的定义和性质简化计算”成为圆锥曲线综合题的命题趋势.教学中，如何贯彻“多思少算”的理念、如何引导学生选择合理的解题方向、如何运用“设而不求”、“整体代换”的方法以简化运算，是不可忽视的问题.本文以河南省开封市2014届高三第二次模拟考试数学理科第20题第（Ⅱ）问的解法探析为例，谈谈简化圆锥曲线综合试题运算量的几点认识，希望对解题教学有所帮助.

题目

已知椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）过点 3 ， 3 2 ，离心率e= 1 2 ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N x0 a ， y0 b 称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“椭点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明.

常规解法：

（I）椭圆C的方程为 x2 4 + y2 3 =1.

（Ⅱ）讨论直线l斜率存在与否，联立椭圆方程，结合“OP⊥OQ”及原点到直线l

的距离，探究得△OAB面积与△ODE面积相等.

点评 本题（Ⅱ）解法利用弦长公式和点到直线的距离公式，通过构建面积目标函数及整体代换得到定值.本题的难点在于对△OAB面积表达式的构建，对学生的数据处理能力、运算能力都是极大的挑战.如何另辟蹊径？

探析一由变化条件寻找联系，巧用“整体代换”

分析：△OAB的面积由A，B两点的位置来确定，利用点A，B在椭圆上及对应的椭点P，Q，A，B的关系式进行“整体代换”.