高三二轮复习课的点睛之笔

颜瑞生

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.

高三二轮复习课应立足数学思想方法进行展开，让学生感受充满数学思想方法的课堂.因为数学思想是数学的灵魂，是数学的精髓所在，是高中数学学习提升的最终层次.数学思想方法主要有：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等，而数形结合思想又是初等数学的重点，更是难点.在平时教学中应如何渗透这些思想？下面以一课例进行分析.

首先执教者给出历年高考中三角函数的位置和三角函数题型有三类：①三角函数的图像和性质；②三角函数的化简与求值；③解三角形.并给出有关高考题进行讲练结合，效果和氛围都很好，最后总结出三角函数中的易错点：①公式应用（诱导公式、辅助角、边角互化）.②齐次化切、配角拆角等技巧.③多解问题：角的范围的缩小；充分挖掘已知中的隐含条件；三角形中，边大角大正弦大；锐角三角形三个角都是锐角；注意消元前后变量之间的相互制约关系；合理选择三角函数，利用好其单调性.

课上得非常好，知识点总结得也很全，就像打牌一样一轮复习就是一个“全”即熟悉出牌的游戏规则，二轮就要总结重视出牌技巧.但是这也感觉像一轮复习过程中的总结课，似乎还缺少些什么，正如打牌打到精除了有出牌先后技巧，还要有全局的意识，更重要的还要适当地记忆.数学思想是数学的灵魂，是数学的精髓所在.在我们的教学中，我们力求让学生感受数学思想，那么怎样让学生更强烈地感受到数学思想呢？这一节课上，学生经历了一题多解和遇到困惑等情况，笔者觉得此时加以比较，及时渗透数学思想方法，可能会做到“随风潜入夜，润物细无声”的效果.

片段1：

例1 （2011苏州三模15改编）如图，以Ox为始边作角α，β（0<β<α<π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为 - 3 5 ， 4 5 ，若OP ·OQ =0，则sin（α+β）= .

教师展示了一名学生的解题过程：

生1：设Q（x，y），则 x2+y2=1，- 3 5 x+ 4 5 y=0， 解得 x= 4 5 ，y= 3 5 ， 所以Q 4 5 ， 3 5 .

则sinβ= 3 5 ，cosβ= 4 5 .又sinα= 4 5 ，cosα=- 3 5 ，

所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= 4 5 × 4 5 + - 3 5 × 3 5 = 7 25 .

在展示完生1的解答过程后，老师询问是否还有其他解答过程.此时生2给出了第二种解答方法.

生2：因为OP ·OQ =0，所以∠POQ= π 2 ，即α-β= π 2 ，

则sin（α+β）=sin 2α- π 2 =-cos2α=-（2cos2α-1）= 7 25 .

在展示完这两种方法后，就进入了下一题的训练.笔者认为此处对这两种方法进行适当的比较，指出其中所用的数学思想方法，会让学生更好地感受到数学思想方法的价值所在.

在给出两种方法后，学生肯定感觉生2的方法简洁，此时教师指出生2的解答过程中蕴含了数形结合思想、函数思想和化归思想.运用函数思想，求sin（α+β）的值可以看成研究函数y=sin（α+β），而此函数含有两个自变量，而我们只会研究一个自变量的函数，所以必须进行消元化归为一个自变量.由此可以发现需要寻找两个元α，β的相互关系，结合条件向量数量积与向量图形的关系，数形结合得出α-β= π 2 .至此学生就会感受到在数学思想方法的指导下，数学解题会更简洁.

片段2：

例2 （2013重庆9改编）4cos50°-tan40°= .

本题学生均化简到 2sin80°-sin40° cos40° ，接下来大部分学生就不知道该怎么办.有一名学生给出了自己的解答：

生3：

2sin80°-sin40° cos40° = 2cos10°-sin40° cos40° = 2cos10°-sin（30°+10°） cos（30°+10°） = 3 2 cos10°- 3 2 sin10° 3 2 cos10°- 1 2 sin10° = 3 .

在学生的惊叹声中，此题讲解也就结束了.此时，生3也只是知道了一种解题方式，并不明白这种方法的本质，其余学生就更是如此了.

如果在生3的解答过程展示结束后，让学生去分析下生3采用了什么处理方式解决了这个难点，那么学生肯定很有积极性，并且在发现的过程中会提升思维的品质.生3的解答过程中，体现了消元的思想，在式子 2cos10°-sin40° cos40° 中主要涉及两个元：10°和40°，不难发现这两个元之间满足关系：40°-10°=30°，由此消去一元即可.在此分析的基础上，让学生简化生3的简答过程，会出现以下方法：（1）由40°-10°=30°得10°=40°-30°，消去10°，计算明显减少；（2）直接由式子 2sin80°-sin40° cos40° 中的两元80°和40°，由80°+40°=120°消去一元80°即可得到结果.在这个过程中，学生明白了方法的本质，通过运用，体会了数学思想的内涵，真正意义上地提高了能力.

随后笔者让学生证明三角形中大边对大角，学生说A

其实整个三角乃至整块数学都贯穿着函数思想，如下简图：

查阅必修一介绍了映射和函数的概念，对于多对一函数只研究了二次函数的性质，对于周期性和单调性没有过多的强调，到必修四先定义了三角函数概念，研究其函数图像和性质再解三角形研究其难点多解问题.教材这样安排可见三角函数二轮中点睛之笔应该是函数与方程思想，那么三角问题从全局出发基本可以化归成函数问题，或者多个小函数问题，需要记忆的就是三角化同角同名、正余弦边角互化等公式的熟练（本质也是函数中的消元思想），接下来就是研究定义域问题，这一问题往往是解题的关键，缩小角的范围或者求出确切的定义域才是解题重心，这其中包含函数中的多个技巧，如：①换元消元时的范围；②条件中范围可能在构造函数求出值域为大函数的定义域；③三角形ABC中的关系等；④角与值的正负对应关系.最后就是利用函数图像研究其值或值域.其实纵观高中数学最终研究的都是值与范围问题，遇到值与范围问题一般转化成：

处理最值与取值范围问题需要建立模型（函数、不等式、代数式、方程）外还需要变量处理，特别是多个变量参与时，这类问题往往是同学们出现较大分差的地方，即优秀与普通的分界点.对于这类问题的处理手段，通常是：①通过消元、换元转化成函数求值域；②对于含有多变量且多个等号（两个以上）可以利用线性规划；③消元、换元利用基本不等式；④利用代数方法较难入手的可以考虑数形结合如建系、代数式的几何意义等.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义，又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化，第三是正确确定参数的取值范围.

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数学结合的应用往往伴随着化归思想即等价转化思想的产生，使数和形之间达到转化.在二轮复习中应渗透这样的函数思想形成通法.古语有云：授之以鱼，只供一饭之需；授之以渔，则一生受用.