“函数的连续性与间断性”“支架式”教学模式的应用研究

何娟娟

【摘要】 “支架式”的教学方法有别于传统灌输型的教学方法，它的特点是教师要引导学生积极探索，为了让学生拥有探索方向、减少学生的探索困难，教师要由低至高，一级一级的搭好支架，以这种方式学习，学生在登上该知识的顶峰时，就能对这类知识有非常详尽的了解.只要合理地应用这种方法，教师就能达到自己的知识目标、能力目标、情感目标.本文阐述了“支架式”教学模式的概念以及教学方法的使用意义、“支架式”教学模式在“函数的连续性与间断性”的运用以及教学方法应用的流程、教学方法应用的要点.

【关键词】 支架式教学；函数；连续性；间断性；应用

一、“支架式”教学模式的概念以及教学方法使用的意义

在传统的教学方法中，数学教师以灌输式的教学方法让学生学习数学，教师直接告诉学生数学概念、数学公式、公式应用等，学生在学习时貌似听懂了，但是实际应用时发现自己根本不知识该用什么公式，或者应用公式时不会举一反三.就以一个脚手架作比方，现在学生在一栋楼的底下，教师用一根绳把学生直接吊到楼顶上去，学生省略了爬每栋楼的过程，所以他们对这栋楼的了解只有一知半解，不能了解这栋楼的全貌.而所谓的“支架式”教学法，实际上是教师为学生搭好上楼的楼梯，学生一边爬楼一边探索自己想要了解的风景，等到学生爬到楼顶时，就会对这栋楼有比较全面的了解.这种引导学生探索的教学方法能提高数学教师的教学效率.

二、“支架式”教学模式的概念以及教学方法应用的流程

现以“函数的连续性与间断性”教学流程来说明“支架式”教学方法：

教师要引导学生用“支架”的方式完成学习，就要先设计好教学目标，教师了解自己的教学目标后，在教学时才会知道应该如何搭阶梯引导学生学习.“函数的连续性与间断性”教学的目标包含知识目标、素质目标、情感目标.

知识目标：教师要让学生理解“函数的连续性与间断性”概念，能对函数的间断点进行分类，能灵活应用函数的连续性与间断性对函数进行分析.

素质目标：在教学中，教师要让学生用化归思想解决数学问题，用建模思想完善自己的知识系统，用宽广的思路应用函数的问题.

情感目标：用“支架式”的教学方法让学生对探索知识更感兴趣.

1.“支架式”教学模式的课堂导入

“支架式”的教学方法是一种引导学生探索的教学方法，它要求教师在让学生探索知识以前引导学生一个方向，学生只要结合以前学过的旧知识就能探索出需要了解的新知识.这种导入方法即为“支架式”教学模式.

比如，教师引导学生学习“函数的连续性与间断性”知识时，让学生解释一首诗歌：“少小离家老大回，乡音未改鬓毛衰.儿童相见不相识，笑问客从何处来.”教师让学生解释这首诗的意思，学生说，这是一个人很久没有回到家乡，等到有一天回去以后发现自己已经不是原来的自己，家乡的孩童都把自己当客人.教师引导学生思考他的容貌是一天改变的吗？学生回答不是.教师说，如果是他身边朝夕相处的人会怎么看待他呢？学生回想到身边的人、事、物，回答教师说如果是身边朝夕相处的人不会感受到他有变化，但是有一天，发现他头发也白了，胡子也白了的时候，会感慨说，我们都老了.教师说，那么他是那一天变老的，以前从来没有变老吗？学生回答说他每天都在变老，但是他的变化太微小，他身边的人没有察觉，只有看到他身上发生质的变化时才真正感觉到他变老了.教师引导学生开始观察“函数的间断性与连续性”.

从以上“支架式”教学应用中可以看到如果教师直接给学生讲解“函数的连续性与间断性”知识，学生可能不理解自己到底要学习什么，也可能会因为觉得新知识太复杂而对知识的学习不感兴趣.教师应用以前学生学过的诗歌让学生思考，这既给学生定义一个学习框架，同时也让学生有思考的方向，学生会减少探索的难度.

2.“支架式”教学模式的课堂引导

（1）概念的引导

教师引导学生写出以下描述的公式，并画出坐标关系图：

设函数y=f（x）在点x0的某一个领域内有定义，当自 变量x由x0变到x0+Δx时，函数y则由f（x0）变为f（x0+Δx）.

图1函数关系表达式 学生画出关系表达式，通看图1，并 求出函数y的变化为Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

教师引导学生观察这个函数的规律，要求学生用数学语言描述这个函数的规律，学生结合过去学习的旧知识得到结论：

设变量u由初值u1变化到终值u2，它的终值与初值之差为u2-u1，即Δu=u2-u1.教师引导学生继续思考，举出满足这个规律的函数例子.学生发现这种关系以镜像的方式也同样成立，Δu可为正也可为负，当Δu>0时，u的变化是增大的，反之，Δu<0时，u的变化是减小的.教师引导学生理解满足该函数关系的即为函数的增量.

教师引导学生思考这个函数的变化特征，学生认为这个函数每个数值变化都很微小，可是它一直在变化，同时，函数变化的每个数值都满足函数表达式的关系.教师引导学生理解到这就是函数的连续性.

在这段教学中，教师用学生以前学过的旧知识开始学习新知识，这是教师为学生搭的阶梯，学生跳上阶梯后，观察新知识的特点，通过学生自己的观察和探索，他们自己总结出新知识的规律，得到数学概念.由于这个知识的形成是学生自己探索得到的，所以学生能对概念有很深的理解.

在学生掌握了概念以后，就要让学生掌握与知识相关的定理，教师可以继续以搭阶梯的方式，让学生完成函数描述以后，自己画出函数的关系图，自己总结每个函数描述式的必然规律.经过这样的引导，学生能完成函数增量的定理学习.

（2）规律的引导

学生完成概念的学习后，教师要引导学生观察函数变化的规律，在这个过程中，教师可以培养学生的多种能力.

比如以上的教学过程，教师引导学生学习完定理后，可以给学生一个例子，让学生观察这个函数的特征：

函数y= x2-1 x-1 在点y=1没有意义，然而lim x→1 x2-1 x-1 =lim x→1 （x+1）=2，画出它的函数关系图.学生画出该函数关系表达式为图2，教师引导学生观看该函数与以上的连续性函数有什么区别？学生发现该函数不是每个表达式都满足同一个函数关系，教师引导学生理解这就是函数的间断性.教师引导学生继续思考除了图2这种间断性的关系以外，它们还可能存在哪种间断性的关系？有些发散性思维很强的学生画出图3、图4、图5四种关系图.教师引导学生用函数公式描述出四种关系.

图2 图3

图4 图5

函数间断性分类图

教师引导学生以上面的图形为基础，思考以上四种间断性函数有什么共同的特征，学生总结到：

f（x）在一个区域范围内有定义，然而在另一个区域范围内没有定义或者不存在lim x→x0 f（x）≠f（x0），造成函数不连贯，教师引导学生理解这就是函数的间断性.

教师引导学生用直观的方法描述间断性函数的特征，学生总结的结果如下：

教师在引导学生理解连续性函数后，开始引导学生观察间断性函数，这种引导学生一层一层探索的方法就是“支架式”的教学方式.由于学生已经有前面的知识为基础，且有一定的数形结合基础，这就是学生继续学习的阶梯，教师要引导学生根据前面学习的知识来继续探索间断性函数的概念并引导学生用发散性的思维方式探索，引导学生用化归的方式探索，在这个探索过程中，学生不仅能学习到需要学习的知识，还能培养思维能力.

（3）应用的引导

教师在引导学生了解所有的概念和定理后，要通过应用了解学生对知识掌握的情况，如果学生的知识结构有缺陷，教师需要引导学生完善前面的知识.

在教师引导学生理解了增量、连续性函数与间断性函数后，教师要引导学生学习函数极限的知识.该知识是前面知识的综合应用，教师可以从较容易的习题，让学生由浅入深地探索并思考.

习题1：下列函数在哪些点处间断？说明这些间断点的类型，如果间断点可去，那么补充定义使它连续.

（1）y= 1[]（x+2）2 ； （2）y=（1+x） 1[]x （3）y=sin 1[]x ；（4）y= sinx[]|x| .

只要学生真正理解了前面的知识，学生就能解出该习题.这就是学习继续向上学习的支架，教师可以通过做习题引导学生理解极限的知识，并引导学生思考哪些间断性函数的间断点需要分左极限与右极限，哪些函数不必分.

教师通过学生做习题，让学生在理解前面知识的基础上更深入理解“函数的连续性与间断性”知识，使学生的知识结构更完整.

3.“支架式”教学模式的课后作业

教师引导学生做作业，是为了引导学生利用课余时间进一步探索数学知识，让学生自觉地完善自己的知识结构.要让学生愿意自主地学习，教师要用生活化的思路引导学生做作业，学生只有了解到自己学习的知识与生活息息相关，他们才会愿意自主学习知识；要用精简的思路引导学生做习题，如果教师布置作业像书山题海那样，学生会觉得做作业太耽误他们的时间从而丧失自主学习的兴趣.教师布置少而精的习题，该题具有代表性，学生才会有研究兴趣.布置作业要注意层次化，让每名学生都能针对自己的层次有研究机会.

习题2：以函数的方式描述30天中气温的变化，描述该函数的增量与连续性.

习题3：设函数为f（x）= arctan 1 x x≠00 x=0 ，讨论函数f（x）在x=0时的连续性.

学生只要能了解函数的连续性与间断性的概念，就能很轻易的做出第一道题，在课堂中学到的知识是该题的支架；第二道题涉及函数连续性、间断性、极限的讨论，它具有一定的综合性，学生真正掌握了课堂中学过的知识才能探索这一题中包含的知识.教师通过给学生布置合理的作业，能让学生在课后继续探索数学知识，培养学生对数学知识的兴趣.如果学生能喜欢数学，教师的教学效率会提高.

三、“支架式”教学模式的概念以及教学方法应用的要点

1.提高学生的学习兴趣

“支架式”教学方法是引导学生探索数学知识的一种方法，学生只有对学习抱有兴趣，他们才会愿意自觉地探索，否则他们不会愿意自主学习.

2.先易后难的教学思路

“支架式”教学方法是由教师先给学生搭好一个爬梯的知识，学生踏上云后就能看到知识的新天地，在这个过程中，教师要紧密地结合学生过往学过的旧知识，让学生能够通过旧知识来理解学习新的知识，先易后难的教学思路能让学生愿意主动学习.如果教师直接让学生思考过于困难的问题，这等于教师凭空抽掉了让学生向上攀登的阶梯，学生就不会愿意自主学习.

3.分层引导的教学方法

“支架式”教学方法中，教师要让学生有探索的空间，让学生在探索中最大限度地展现自己的才化.比如以上的课堂教学中，教师让学生用发散性的方式思考、用化归的方式思考等，拥有不同特长的学生都有机会展现自己的能力，学生就会有学习的自主性.如果教师不给学生探索的机会，而要求学生一定要按自己的思路学习，学生会觉得自己是被动学习，他们就不会有探索的兴趣.

“支架式”教学方法有别于传统灌输型的教学方法，它的特点是教师要引导学生积极地探索，为了让学生拥有探索方向、减少学生的探索困难，教师要由低至高，一级一级的搭好支架，以这种方式学习，学生在登上该知识的顶峰时，就能对这类知识有非常详尽的了解.只要合理地应用这种方法，教师就能达到自己的知识目标、能力目标、情感目标.