数形相结合的思想方法在函数解题中的应用

刘海燕

数形相结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形得数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到简便、快速解题的目的。

函数是描述事物发展变化规律的一种表达形式，它比较抽象，学生比较难理解和掌握它的特性。纵观多年来的中考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。教学多年，在函数这一块，我始终贯穿数形相结合的思想方法来教学，取得很好的教学效果。

数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

一、以“数”化“形”

学生在初中阶段刚开始接触函数，对函数的特点和性质难以把握，而“形”具有直观的优点，能表达较多具体的内容。在中学函数教学过程中，借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，起着由抽象到直观的定性作用。譬如，学生刚开始接触一次函数时，由于是第一次接触函数，不知道一次函数的内涵是什么？不知道一次函数有些什么性质特点？利用一次函数中的“数”得到一次函数中的“形”，即一条直线，通过这条直线去探究一次函数的性质，让学生对一次函数的性质特点由抽象到具体、直观，从而轻松掌握一次函数的性质特点。

应用举例：

例1：已知二次函数y=-x2-4 x+2，当x的取值范围为-5≤x≤0时，函数y的最大值为_______。

[解析]：此题学生若不画出图形，易将x=-5或x=0代入求解，从而产生错解。

正确的解法为：根据题意画出函数图象，由图象得知，函数y的最大值为顶点处的取值，即

二、以“形”变“数”

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

应用举例：

方法二：结合图象，有更为简便的方法，方程ax-1=2，即为函数y=ax-1的图象中y=2时对应x的值，由图象得知，x=1。因此，利用数形相结合的方法解题有时会更直观，更简便。

三、“形”“数”互变

“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。

应用举例：

函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件，画出基本准确的图形，根据作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。

运用数形相结合思想，不仅直观，而且易发现解题途径，有时能避免复杂的推理计算，大大简化了解题过程。这在函数解题中更显其优越，要注意培养学生这种数形结合思想意识，要争取脑中有形，见数想形，以开拓自己的思维视野。

（作者单位：广西贵港市港南区第一初级中学537100）