平面向量在解题中的应用

赵小强

一、知识与方法

1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b赼＝λb(b≠0)趚1y2－x2y1＝0.

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a⊥b赼·b＝0趚1x2＋y1y2＝0.

(3)求夹角问题，利用夹角公式

cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2y1y2x21y21x22y22(θ为a与b的夹角)．

2．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．

3．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

二、考向研究

考向一向量在平面几何中的应用

例1：Ｔ凇鰽BC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()．

A．等边三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

［审题视点］ 根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系．

解析(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA-AC)＝0，即AC·(BC＋BA+CA)＝0,2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴∠A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．

答案C

方法锦囊》 对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论．

特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明．

训练1：(2013·汉中质检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()．

A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心

C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心

考向二向量在三角函数中的应用

例2：Ｉ柘蛄縜＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.

［审题视点］ 根据平面向量的运算性质列式(三角函数式)，进而转化为三角恒等变换和三角函数性质问题．

(1)解因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，

因此tan(α＋β)＝2.

(2)解由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得

|b＋c|＝(sinacosa)2(4cosa4sina)2

＝1715sin2a≤42.

又当β＝kπ－e4(k∈Z)时，等号成立，

所以|b＋c|的最大值为42.

(3)证明由tan αtan β＝16，得4cosásina＝siná4cosa，所以a∥b.

方法锦囊》 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

训练2： 已知向量a＝cos3x2sin3x2，b＝cos x2，－sin x2，且x∈0e2.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．

考向三向量在解析几何中的应用

例3：Ｒ阎平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC+12PQ·PC-12PQ＝0.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE·PF的最值．

［审题视点］ 第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解．

解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．

由(PC＋12PQ)·(PC－12PQ)＝0，得|PC|2－14|PQ|2＝0，

即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得x216＋y212＝1.

所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.

(2)因PE·PF＝(NF－NP)·(NF－NP)＝(－NF－NP)·(NF－NP)＝(－NP)2－NP2＝NP2－1，

P是椭圆x216＋y212＝1上的任一点，设P(x0，y0)，

则有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203，又N(0,1)，

所以2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17

＝－13(y0＋3)2＋20.

因y0∈［－23，23］，所以当y0＝－3时，NP2取得最大值20，故PE·PF的最大值为19；

当y0＝23时，NP2取得最小值为13－43(此时x0＝0)，故PE·PF的最小值为12－43.

方法锦囊》 向量在解析几何中的作用

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．

(2)工具作用：利用a⊥b赼·b＝0，a∥b赼＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法．

训练3：已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA·AM＝0，AM＝－32AQ，当点A在x轴上移动时，求動点M的轨迹方程．