MATLAB在线性代数课程中的应用

欧阳异能 杨婷

【摘要】 结合线性代数课程特点，引入计算软件MATLAB辅助教学，探讨MATLAB在线性代数中的矩阵运算、行列式计算、向量组的线性相关性、线性方程组求解以及特征值和特征向量等若干问题方面的应用，以期提高教学质量，改进教学效果.

【关键词】 矩阵；线性方程组；特征值；MATLAB

线性代数课程是高等学校的重要数学基础课，是用数学知识解决实际问题的一个强有力的工具，广泛地应用于信号处理、系统控制、电子通信等学科领域. 线性代数课程除了培养学生的基本运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力外，还应注重培养学生的数学建模能力与数值计算能力，使学生学会用数学方法解决实际问题，并能利用计算机进行一定的科学计算.

目前传统的线性代数教材仍然是以理论为主导，偏重理论体系的系统性、完整性，过多强调证明和推导，却忽视了概念、原理和模型的实际背景，缺乏解决实际问题的训练. 再加上课程本身所固有的抽象性和计算的繁琐性，学习兴趣不高，针对线性代数课程的这些特点，必须对现有的教学模式进行改革. 利用计算机软件辅助教学，既能提高教学效率，减轻学生计算负担，促进线性代数教学理论走向应用，又能锻炼和培养学生的数值计算能力，使得学生逐渐喜欢线性代数课程. 本文主要通过实例介绍MATLAB在线性代数教学中的应用.

1. 矩阵的基本运算

（1）矩阵的初等变换

在线性代数中，矩阵的初等变换是最基本也是最重要的一种运算，求矩阵的逆、矩阵的秩、判断向量组的线性相关性、解线性方程组等问题都离不开初等变换，而矩阵的初等变换相对比较繁琐，故教学过程中老师会省略很多步骤，这样不利于学生的学习，引入MATLAB可以方便解决此类问题.

初等变换包括行变换和列变换，下面重点介绍MATLAB在初等行变换中的命令，列变换命令类似. （I）交换矩阵A第i行和第j行，A（[j，i]，：）=A（[i，j]，：）；（II）矩阵A第i行乘以k倍，A（i，：）=k*A（i，：）；（III）将矩阵A第i行的k倍加到第j行上去，A（j，：）=k*A（i，：）+A（j，：） .

例1 设A = 0 -2 13 0 -2-2 3 0，用初等变换求A-1.

解 将（A，E）通过初等行变换化成（E，A-1），求得逆矩阵A-1. MATLAB程序和运行结果：

>> A=[0 -2 1；3 0 -2；-2 3 0]；

>> B=[A，eye（3）]；

>>B（2，：）=1*B（3，：）+B（2，：）； B（3，：）=2*B（2，：）+B（3，：）； B（3，：）=4*B（1，：）+B（3，：）；

>>B（1，：）=2*B（3，：）+B（1，：）； B（2，：）=（-3）*B（3，：）+B（2，：）； B（2，：）=2*B（1，：）+B（2，：）；

>> B（[1，2]，：）=B（[2，1]，：）； B（[3，2]，：）=B（[2，3]，：）

执行后，输出结果为：

B = 1 0 0 6 3 4

0 1 0 4 2 3

0 0 1 9 4 6

即求得A-1 = 6 3 44 2 39 4 6

（2）矩陣的其他典型计算

矩阵A的典型计算还包括：矩阵的转置A′；方阵行列式det（A）；矩阵逆inv（A）；矩阵的秩rank（A）；矩阵的行最简型rref（A）. 例如例题1中的矩阵A，MATLAB命令det（A）、inv（A）分别得到运行结果是1和3.

2. 行列式与方程组求解

根据克拉默法则，若线性方程组系数行列式D ≠ 0，则方程组有唯一解. 当线性方程组为AX = B，则用矩阵左除X=A/B，即X = A-1B；当线性方程组为XA = B，则用矩阵右除X=B/A，即X = BA-1.

例2 当a取何值时，线性方程组

（1 - a）x1 - 2x2 + 4x3 = 12x1 + （3 - a）x2 + x3 = 4x1 + x2 + （1 - a）x3 = 2有唯一解？

解 当系数行列式不等于零时，方程组有唯一解. 因此，先求解a使得系数行列式等于零. MATLAB计算程序和运行结果：

syms a

format rat

>>A=[1-a，-2，4；2，3-a，1；1，1，1-a]； b=[1，4，2]'； >>D=det（A）；

>>a0=solve（D）' %系数行列式等于零的根

>>X=A＼b %利用左除求出方程组的符号解

>>X=subs（X，a，-1）' %特别的当时，方程组的根

执行后，输出结果为：

a0 =

[ 0， 2， 3]

X =

（- a^2 + 4*a + 2）/（a*（a^2 - 5*a + 6））

-（2*a - 1）^2/（a*（a^2 - 5*a + 6））

-（（2*a - 1）*（a - 1））/（a*（a^2 - 5*a + 6））

X =

1/4 3/4 1/2

3. 向量组的线性相关性及方程组的通解

向量组的线性相关性的判断，需先将列向量矩阵化成行阶梯形，非零行非零首元所在列一定线性无关，MATLAB命令[R， s]=rref（A）可以快速完成行最简形计算， 其中R为A的行最简形矩阵；s是一个行向量，它的元素由R的非零行非零首元所在列号构成. 求方程组通解，除了用行最简形的方法，还可以用null（A， 'r'）求齐次线性方程组Ax = 0的基础解系和x0 = A＼b求非齐次线性方程组Ax = b的一个特解x0.

例3 设矩阵A = 1 2 1 -22 3 0 -11 -1 -5 7，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.

解 MATLAB命令窗口中输入：

>>A=[1，2，1，-2；2，3，0，-1；1，-1，-5，7]；

>> [R，s]=rref（A）

执行后，输出结果为：

R =

1 0 -3 4

0 1 2 -3

0 0 0 0

s = 1 2

记A = （a1，a2，a3，a4），由运行结果可知，列向量组的极大无关组为a1，a2，并且a3 = -3a1 + 2a2，a4 = 4a1 - 3a2.

解 根据线性方程组解结构，先求对应齐次方程通解，再求特解x0，输入MATLAB命令：

>>A=[1 -1 -1 1；1 -1 1 -3；1 -1 -2 3]； b=[0 1 -0.5]'；

>>null（A， 'r'）

>>x0=A＼b

执行后，输出结果为：

ans =

1 1

1 0

0 2

0 1

x0 = [ 0 -1/4 0 -1/4]

即所求通解为x = k11100 + k21021 + 0-1/40-1/4，k1，k2∈R

4. 特征值和特征向量

求解方阵的特征值和特征向量时，很多同学解不出特征值，显然影响求解和理解特征向量. 应用MATLAB的命令[V， D]=eig（A）可以快速求解特征值特征向量，其中矩阵D为A的特征值所构成的对角阵，V的列向量为A的特征向量，与D中特征值一一对应. 从而可以节省更多时间来加深理解特征值和特征向量. 当矩阵A为对称阵时，还可用MATLAB命令[V， D]=schur（A）求特征值与特征向量.

例5 求矩阵A = 4 6 0-3 -5 0-3 -6 1的特征值和特征向量.

解 MATLAB命令窗口中輸入：

>>A=[4 6 0；-3 -5 0；-3 -6 1]；

>> [V， D]=eig（A）

执行后，输出结果为：

V =

0 0.5774 -0.8944

0 -0.5774 0.4472

1.0000 -0.5774 0

D =

1 0 0

0 -2 0

0 0 1

上面的输出结果可以清楚地看出，特征值与特征向量是相对应的，而这一点在课堂学习中很容易被忽略.

MATLAB作为一种直观高效的计算软件，为线性代数教学提供了很好的平台，它的最大优点是数值计算功能强大，且易学易懂，运用MATLAB辅助教学，可以省去繁琐而易错的手工计算过程，更有利于在教学中突出重点，有效提高教学质量和效率. 如何在线性代数教学中应用MATLAB软件，而不改变线性代数整个理论体系，需要对现有的线性代数课程的教学体系、教学内容和教学方式进行深刻的改革，让MATLAB为线性代数教学和学生学习效率服务，既发挥MATLAB的软件优势，又凸显线性代数理论的主体地位.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]陈怀琛，龚杰明.线性代数实践及MATLAB入门[M].2 版.北京：电子工业出版社，2009.

[3]李绍刚，段复建等.线性代数中MATLAB实验教学的探索与实践[J].长春大学学报，2010，vol.20，No.6.