携手分类讨论思想走进中考数学

洪翠莲

摘要：所谓“数学分类讨论方法”，就是将问题所涉及的所有对象依照一定的标准分成若干类，然后逐类加以讨论，最终得出正确的解答，这种方法称为分类讨论法.它既是一种逻辑方法，也是数学中的一种重要思想方法和解题的策略.这一思想方法的运用已成为近年来中考的一大热点。

关键词：分类讨论；思想方法；中考；解题的策略“分类讨论”的问题特点：

一：它具有明显的逻辑特点而且覆盖知识点较多，有利于对学生知识面的考查；

二：同时解分类讨论问题时，需要学生有一定的分析能力，一定的分类技巧，有利于对学生能力的考查。

所以命题者往往能利用分类讨论题来加大试卷的区分度，因而分类讨论题近年备受命题者青睐。

需要进行“分类讨论”的问题一般来讲有两类：

一：涉及代数或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。

二：根据几何图形的点和线出现不同位置的情况一一解决问题。

分类的方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。而同学们在解答此类问题时,往往对分类的标准把握不准,或者对分类的情况考虑不全,而导致这类试题的得分率不高.本文我就通过例析归纳中考数学的

几道试题,旨在帮助同学们搞清这类问题的常见解题思路以及策略,提高全面分析问题的能力.

（1）由定义.数学运算.或者字母系数导致的分类：

例1：（苏州中考试题第14题）函数y=2x－1的自变量x的取值范围是___________．

分析与解：此题考查的是二次根式定义与分式定义的复合

∴x－1≥0

x－1≠0 解得：x>1

例2：（湖北襄阳中考第16题）关于x的分式方程mx－1+31－x=1的解为正数，则m的取值范围是___________．

分析与解：此题考查的是分式方程解法同时得注意验根：

解：去分母：m－3=x－1∴x=m－2

∵m－2>0

m－2≠1 解得：m>2且m≠3

例3：（2011•南京）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

分析与解：此题（2）是一道典型由字母系数引起的分类，受到m限制此函数可能是一次函数，也可能是二次函数。

解：（1）当x=0时，y=1．

∴无论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；

（2）分两种情况：

①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；

②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．

综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．

总结：遇上此类题，我们应从定义与运算性质或函数性质等进行分类，整合得出最后答案。

评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种

（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。

这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例（2）是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。

（2）应用题中限制条件导致的分类：

例4：（陕西第21题）

2011年4月28日，以“天人长安，创意自然——城市与自然和谐共生”

为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种：

票得种类夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）单价（元/张）60100150某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票得张数是A种票张数的3倍还多8张，设购买A种票张数为x，C种票张树伟y

（1）、写出Y与X之间的函数关系式。（2）、设购票总费用为W元，求出W（元）与X（张）之间的函数关系式。（3）、若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A,B,C三种票的张数。

分析与解：此题第（3）小题是道常见的由题目条件限制和实际意义限制引起的分类方案题。

解：（1）y=-4x+92

(2)w=60x+100(3x+8)+150(-4x=92)

w=-240x+14600

(3)由题意，得x≥20

92-4x＞0解之，得20≤x＜23

∵x是正整数，∴x可取20、21、22

∴共有3种购票方案

∵r=-240＜0∴w随着x的增大而减小，当x=22时，w是取值最小

即当A票购买22张时，购票的总费用最少

∴购票的总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为22,74,4

评注：实际应用题中的分类，通常应认真审题从题中找出所有限制条件，同时再考虑是否要受实际

意义限制，两者综合下就可解题了。

（3）图形不确定导致的分类：

例5：（福州中考第10题）

如图，长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，AB两サ阍诟竦闵希若C也在格点上，以ABC为顶点的三角形面积ノ2，则满足条件的点C个数（）A、2B、3C、4D、5シ治鲇虢猓禾角舐足某些已知条件的点是中考常见题。这类题构思非常巧妙，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，学生求解此类题常会漏解，甚至无从下手。ゴ颂夤丶抓住C是格点，同时S⊿ABC=2下手，S⊿ABC=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗•底×高，∴底×高=4且C是格点。ァ喾掷辔①底为2，高为2，如图C1，狢2两点。ア诘孜4，高为1，如图C3，狢4两点。プ酆希汗灿4点，故选（C）.ダ6（莆田第7题）等腰三角形的两条边长分别为3,6，那么它的周长为（）ァ嗀．15〓B．12〓C．12或15〓D．不能确定シ治鲇虢猓捍颂馐堑妊三角形中，因腰和底不确定需分类讨论，解决此类题一般方法是先分类，再计算。ア偃舻孜3，腰为6，则三边长为：3、6、6。ア谌舻孜6，腰为3，则三边长为：6、3、3。ネ时运用三角形三边关系验证是否能构成三角形：ァ3+6>6,6-3<3∴3、6、6可构成三角形，此时周长为3+6+6=15ビ帧6+3>3,6-3=3∴6、3、3不能构成三角形（舍去）プ凵希罕咎獯鸢腹恃。ˋ）ダ7（湖北襄阳中考第17题）ト缤4，在梯形ABCD中．AD∥BC，AD=6．BC=I6。E是〖TP10.TIF,5。1，PZ〗BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动：点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发．沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止〖FL)〗〖HT〗〖JZ〗〖HT2Y4〗〖MZ(1〗