解排列组合应用题的13种策略

2014-04-29田晓东

中学课程辅导·教学研究 2014年25期

关键词：排列组合解题策略例题

田晓东

摘要：在高中数学教学中，排列组合问题既是一个重点，也是一个难点。它联系实际、生动有趣，但题型多样、思路灵活、不易掌握。对此，本文提出了解排列组合应用题的13种策略，供学生参考。

关键词：排列组合；解题策略；例题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0151

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际、生动有趣，但题型多样、思路灵活、不易掌握。实践证明，掌握题型和解题方法、识别模式、熟练应用是解决排列组合应用题的有效途径。

一、相邻问题捆绑法

将题目A，B，C，D，E中规定的相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。

例1. 五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）

A. 60种 B. 48种 C. 36种 D. 24种

解析：将A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，有A4种，答案：D。

二、相离问题插空排

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

例2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A. 1440种 B. 3600种 C. 4820种 D. 4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A2种，不同的排法种数是A5A2=3600种，选B。

三、定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。

例3. A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）

A. 24种 B. 60种 C. 90种 D. 120种

解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即■A5=60种，选B。

四、标号排位问题分步法

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。

例4. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）

A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B。

五、有序分配问题逐分法

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。

例5. 1. 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）

A. 1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C7=2520种，选C。

2. 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）

A. C12C8C4种 B. 3C12C8C4 种

C. C12C8A3种 D. ■种

答案：A。

六、全员分配问题分组法

例6. 1. 4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：把四名学生分成3组有C2种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共有C2A3=36种方法。

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配。

2. 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

A. 480种 B. 240种 C. 120种 D. 96种

答案：B

七、名额分配问题隔板法

例7. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C9=84种。

八、限制条件的分配问题分类法

例8. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

1. 若甲乙都不参加，则有派遣方案A4种；2. 若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A3方法，所以共有3A3种；3. 若乙参加而甲不参加同理也有3A3种；（4）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A2种，共有方法7A2种。所以共有不同的派遣方法总数为A4+3A3+3A3+7A2=4088种。

九、多元问题分类法

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计。

例9. 1. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）

A. 210种 B. 300种 C. 464种 D. 600种

解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，A4A3A3，A3A3A3，A2A3A3，A3A3个，合并总计300个，选B。

2. 从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I，能被7整除的数的集合记做A={7，14，21，……98}共有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记做A={1，2，3，4，……100}共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C14，从A中任取一个，又从A中任取一个共有C14C86，两种情形共符合要求的取法有C14+C14C86=1295种。

（3）从1，2，3，……，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：将I={1，2，3，…100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A={4，8，12，…100}；能被4除余1的数集B={1，5，9，…97}，能被4除余2的数集C={2，6，…98}，能被4除余3的数集D={3，7，11，…99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B，D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25+C25C25+C25种。

十、交叉问题集合法

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）。

例10. 从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n（I）-n（A）-n（B）+n（A∩B）=A6-A5-A5+A4=

252种。

十一、定位问题优先法

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11. 1名教师和4名获奖同学排成一排照相留念，若教师不站两端则有不同的排法有多少种？

解析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；所以共A3A4=72有种。

十二、多排问题单排法

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12. 1. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）