爬上巨人的肩膀

杨胜群

牛顿有句名言：“我之所以能取得这微不足道的成绩，是因为我站在巨人的肩膀上.”作为一名高中数学教师，我认为理解教材是上好课的第一步.我省普通高级中学所选用的数学教材为人教A版，这套教材凝聚了诸多专家、学者和一线名师的心血和期望，蕴含了他们对高中数学教育、教学的理解和认知.如果把这些专家、学者和一线名师比作巨人的话，我希望我们能爬上巨人的肩膀，能从他们的立场去分析教材，理解教材.

最近在校内上了一堂公开课，教学内容为必修2“3.3.3点到直线的距离”和“3.3.4两条平行直线间的距离”（后面均简称为“距离”），我以这节课为例谈谈我对理解教材的认识.

1. 统观全局——理解教材的重点设计

每一节数学课都有教学重点，重点有重点的地位.对教材重点的理解不能只看眼前，而应瞻前顾后，站在整个知识脉络的立场去理解.

角、距离、面积是平面几何中的三个主要量度，两点之间的距离和点到直线的距离又是平面几何中最重要的两个距离，其他的距离问题均可以转化成点点距离或点线距离，用坐标法研究几何问题必须有求点点距离和点线距离的方法.所以“距离”这节课教材的重点定位在点到直线的距离，而两条平行直线间的距离只用例7说明.

教材的设计告诉我们：只有把握了整个知识脉络，才能把握住一节课的重点.

2. 瞻前顾后——理解教材的难点设计

每一节数学课都有教学难点，难点有难点的价值.

“距离”这节课教材的难点设计在点到直线距离公式的推导，推导过程几乎占了该节全部内容的一半篇幅.投入如此多的时间和精力，要理解这些投入的价值需要前后联系去看.解析几何的核心思想是用代数运算解决几何问题.在解析几何中，对于一些公式或者结论的推理、证明需要用符号语言去表示具有普遍性的量，用符号进行运算成为一项经常性的工作，尤其是在后面“圆锥曲线”的学习中，将大量使用符号运算，运算能力将直接影响学生对解析几何的学习.符号运算过去学生接触得不多，学生需要了解符号运算，增强自己的符号运算能力.点到直线的距离公式是学生在这一章的教学设计中遇到的第一个有一定运算量，原理相对比较简单而又必须掌握的公式，以它作为载体再合适不过.事实上，教材在“3.3.2两点间的距离”这节课设计了例4：证明平行四边形四条边的平方和等于两对角线的平方和. 这个例题既是对两点间距离公式的运用，也是对运用解析法进行证明的初步探索.

由此可见，难点的价值在于培养学生的数学能力，教学中能否顺利突破难点将对学生的后续学习产生深远影响.

3. 珠联璧合——理解教材的例题设计

数学课堂离不开例题，例题设计的水平直接影响教学目标的达成度.好的例题能与教学目标交相辉映，珠联璧合；不恰当的例题则可能喧宾夺主，败事有余.

在实际教学中，由于各学校学生的水平有所不同，很多教师会改编或改选例题，但有一个前提，我们必须能理解教材的例题设计.以下是“距离”这节课的三个例题.

例5这个例题解题很简单，但从学生的认知心理来看，从接触一个新知识到掌握这个知识是一个循序渐进的过程，不可能一蹴而就，需要一定的过渡和衔接，例5这种基础性的设计能让学生在应用知识的过程中进一步掌握知识，增强学习信心，是对学生学习心理的健康促进.另外，例5还有它不简单的一面，该题还包含了特殊情况——特殊解的思想.

例6所蕴含的数学知识比较丰富，可以分为三个方面：一是公式在实践中的进一步应用；二是面积这个量度可以用点点距离和点线距离来解决，体现了转化思想；三是解法的优化选择.如图1所示，教材的解答取AB为底边作高线h，而不是以符合正常视觉习惯的BC边为底边，其实是对数据的一种优化处理，因为直线AB的方程最简单，相对计算量最小.

两条平行直线间的距离只用例7来说明，而不再详细推理两条平行直线间的距离公式，这种改变是新课程改革中数学教学理念革新的具体体现.我们的教学应更关注研究事物的通性，解决问题的通法，而不要把过多的精力放在针对性极强的方式、方法上.我们培养的是学生的自主探究能力，让他们学会用已有的工具去解决新的问题，而不是每遇到一个新问题就向学生派送一种新工具.

不难发现，这三个例题紧扣教学目标，围绕点到直线的距离层层递进：一为基础应用，二为综合应用，三为创新应用. 既巩固了新知，又培养了学生的探究能力，同时还渗透了数学思想，与教学目标珠联璧合.

4. 水到渠成——理解教材的探究设计

每一位教师都知道“授之以鱼，不若授之以渔”的道理，当代课堂，“渔”是主旋律.“距离”这节课中如果说“鱼”是点到直线的距离公式，“渔”则是公式的探究过程.“距离”这节课教材有两个探究设计，一是点到直线的距离公式，二是两条平行线间的距离公式.点到直线的距离公式是师生共同完成探究；两条平行线间的距离公式则采用教师引導，学生独立完成.

教材对点到直线的距离公式的探究摘记如下：

5. 抛砖引玉——理解教材的问题设计

爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要.因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”新课程改革一个重要的标志就是“问题教学法”的普及，问题教学法就是教材的知识点以问题的形式呈现在学生的面前，让学生在寻求、探索、解决问题的思维活动中，掌握知识、发展智力、培养技能，进而培养学生自己发现问题、解决问题的能力.这就要求问题设计必须有针对性、启发性、引领性.

在“距离”这节课教材共设计了8个问题，这里选取教材在探究两条平行线间的距离公式中设计的3个问题：

（1）设直线l1∥l2，如何求l1与l2间的距离？

（2）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？

（3）如何取点，可使计算简单？

我们不难发现，问题（1）明确了学生的思考目标，问题（2）突破了学生的思考难点，问题（3）点出了学生的思维盲点.如此到位的问题设计能调动学生的积极性，引领学生的思考，使学生的学习成为感受、理解知识产生和发展的过程，把学习知识的过程变成了学生自主探究的“再发现”“再创造”的过程.教学中教师抛出一块“砖”，引出学生片片“玉”.

我在这里如此推崇教材，并不是要搞权威崇拜，毕竟在教学领域没有最好，只有更好.随着时代的发展，教学的理念、方法、技术总是不断地在前进，但前进的基础是我们能充分吸收前人的知识和经验，只有爬上巨人的肩膀，才能站在巨人肩膀上.所以理解教材是我们能上出有特色、有深度，高效、优质的数学课的第一步.

【参考文献】

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书：数学2（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]浙江省基础教育课程改革专业指导委员会.浙江省普通高中学科教学指导意见：数学[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[3]黄超.以审慎和发展的眼光优化教材：对教材中“几何法推导两角差的余弦公式”的一点想法[J].中学数学教学参考：上旬，2013（7）.

[4]刘智强.读懂现行教材的三个着力点[J].中学数学教学参考：上旬，2013（8）.