光学谐振腔设计的特性研究

李一飞

摘 要 光束质量决定了激光的聚焦特性和传输特性，它与激光谐振腔内的光场模式密切相关。模式的计算对谐振腔腔型的设计具有一定的指导作用。本文结合谐振腔模式计算的特点，提出了基于传输矩阵方法，其主要特点是：可求解多个模式的计算，并很容易判断谐振腔鉴别模式的能力。

关键词 激光谐振腔 传输矩阵 设计

中图分类号：O43 文献标识码：A

1构造光学谐振腔的模型

不稳腔常选作高功率激光器的腔型，这时激活介质的增益饱和以及增益的非均匀等会引起腔内折射率的非均匀性。此外，对一些高功率气体激光器，腔内工作气体介质需作超音速流动，因冲击波作用也会使腔内折射率出现不均匀。因此不能再作为无源腔来处理。有源腔的实际物理图像十分复杂，作为近似可以把激活介质视为一个薄片，并且紧贴其中一个反射镜，或者一分为二，紧贴在两个反射镜的内侧，称为片状增益模型。如下图所示，以片状增益模型把光腔内的介质增益等效于紧贴在一腔镜内侧的片状增益透镜，设镜Ⅰ上的光场分布为，经过腔内一次渡越，得到镜Ⅱ上的光场分布，是光经过增益透镜后的光场分布。

片状增益模型

2构造数值矩阵

根据菲涅耳-基尔霍夫衍射积分方程，将腔镜Ⅰ按照一定的顺序划分为单元 1～S，于是，腔镜Ⅰ上的复振幅分布函数U1 （x，y）可被离散化为复振幅分布向量 U1={U1[1]， U1[2]， …U1[S]}，同理，镜Ⅱ上的复振幅分布可用矩阵 U2 描述。考察镜Ⅰ上第m个单元U1[m]（中心位置[Xm，Ym]）对U2[n]的作用，当划分数S足够大时，可认为Sm上复振幅均匀分布，即与ds的积分变量 x、y（以直角坐标为例）无关，得：U12[m，n]=U1[m]譇12[m，n]，其中，.当m 取值 1～S，n 取值 1～h，叠加得到：这个式子表现了腔内光场的一次渡越，可简记为：U2=A12譛1.式中A12[m，n]的物理意义为：腔镜Ⅰ上单元 m 上输入复振幅为 1 时对腔镜Ⅱ上单元 n 的作用。同理可得 A21，它描述从镜Ⅱ返回到镜Ⅰ。则腔内一次往返可表示为：U'1=A21譇12譛1=A譛1，根据自再现原理有U1'=%＼U1=AU1（h議）. 描述此谐振腔各阶模式的本征值%＼就是A的特征值。可见矩阵 A 包含了对腔内模式和光束特性的描述，可称 A 为传输矩阵。求解光腔模式的过程就可归结为：划分腔镜——计算传输矩阵——求解特征值和特征向量——模拟腔内模式分布。对谐振腔模式的求解，主要转化为对传输矩阵A的求解。

3光学谐振腔的设计

从几何光学近似出发，采用光线坐标转换矩阵表述，可以最简便的方式讨论各种共振腔的稳定条件和光束在腔内往返的空间（截面和发散角）行为特性。设腔曲率半径为R1和R2的两块凹面镜组成，腔长为任意值L，两镜面球心C1和C2的连线构成系统光轴。考虑由镜M2上任意一点P0发出的任意一条光线，它在P0点的坐标可用两个参量表征：一个是P0点至光轴的距离%j0，另一个是光线与光轴平行线的夹角%a0。设该光线传输到镜上M1与镜面交于P1，则相对于P1点而言的坐标参量分别转换为%j'=%j0+L%a0和%a'=%a0。由上述关系式出发，我们考查了光线在腔內完成了一次往返过程，设往返一次后光线的坐标矩阵为A1，则A1的表示式为，式中T为任意光线在腔内完成了往返一周时的坐标变换矩阵，R为光线在P点反射时的坐标反射矩阵。重复以上的分析，可进一步把光线在腔内经历次往返后的坐标参量%jn、%an与初始坐标参量之间的关系一矩阵形式表示为按照矩阵的数学理论， ，式中三角函数的宗量定义为%o=arccos（a+d），这里（a+d）为转换矩阵的两对角矩阵元之和。由表示式可看出，它们均与光线的初始坐标参量的选择无关，因此可用来描述腔内任意光线的往返行为。共振腔的稳定条件，在物理上意味着任意光线在腔内往返任意多次数后都不会横向偏折出腔外；在数学上，这意味着任意光线在腔内往返任意多次数后，光线在镜面上的坐标参量恒保持为有限的并且不全为零的数值。这要求相当于.这是共振腔稳定条件的基本表示式。再将a、d表示式代入得.当这个条件得到满足时，对一般稳定腔而言，在腔的菲涅尔数不十分小和所讨论的横模序数不十分高的两个前提下，应用衍射理论可给出近似解析解的结果。