几何综合法与向量坐标法，孰优孰劣

洪昌强

题1  如图1，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10. 问：在△ABO内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE，若存在，请求出该点坐标，并求点M到OA，OB的距离;若不存在，请说明理由.

题2  如图2，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC=16，PA=PC=10. O为AC的中点，H为△PBC内的动点（含边界），OH∥平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.

图1              图2

2.1 坐标法

对于题1，如图3，建立直角坐标系，P（0，0，6），B（8，0，0），E（0，-4，3），F（4，0，3）. 设M（x，y，0），则 =（0，4，-3）， =（8，4，-3）， =（x-4，y，-3）. 由FM⊥平面BOE得4y+9=0及8（x-4）+4y+9=0，即x=4，y=- . 又因为AO=BO=8，AB=8 ，所以M4，- ，0在△ABO内，且点M到OA的距离为4，到OB的距离为 .

图3             图4

对于题2，如图4，建立直角坐标系，容易求得平面PBC的法向量n1=（3，3，4），平面PAB的法向量n2=（3，-3，4）. 若设H（x，y，z），则 =（x，y，z-6）. 又因为点H是在平面PBC内的点，由条件可得（3，3，4）·（x，y，z-6）=0及（3，-3，4）·（x，y，z）=0得3x+3y+4z-24=0及3x-3y+4z=0，解方程组得Hx，4，3- x. 因为H在△PBC内或边界上，所以0≤x≤4.  =x，4，-3- x. 又因为平面ABC的法向量n3=（0，0，6），所以可得sinθ=cos〈n3， 〉= = = .

设t= +1（1≤t≤2），则sinθ= = ，

再由二次函数的单调性得 ≤sinθ≤ .

分析  对于题1，由于本题△ABO所在的平面就是空间直角坐标系xOy，所寻找的点M是在△ABO内，其坐标设为（x，y，0），未知数仅有两个，列方程和解方程都比较方便. 因此，题1使用坐标法得分率比较高. 对于题2，从本题所提供的几何图形来看，建坐标系比较方便，多数同学开始就选择了坐标法，把求直线与平面所成角的问题转化为直线与平面法向量所成角问题. 绝大多数的同学按平常的解题思路，直接设H（x，y，z）. 从统计中发现，有三分之二的同学，根据条件OH∥平面PAB得到OH与平面PAB的法向量垂直，即（3，-3，4）·（x，y，z）=3x-3y+4z=0，有一半以上的同学不会建立第二个等式. 为什么只能列出一個式子，而不会列出第二个等式？其原因是，在高中阶段，当点在已知直线上时，多数同学知道利用向量共线来处理. 对于点在平面上（除特殊条件约束外），在空间直角坐标下，中学没有提及平面方程，绝大多数同学缺少处理点在平面上的经验. 这也是导致本题用坐标法处理得分低的重要原因之一. 从以上解法知，本题即使将直线PH与平面ABC所成角的正弦值表示为x的函数，求这个函数的值域并不是一件容易的事，其中求变量x的取值范围也并非易事.

向量坐标法的一般的操作步骤是：第一步，建立空间直角坐标系;第二步，计算相关点坐标及各线段对应向量;第三步，通过解方程求相应平面的法向量;第四步，根据向量数量积的公式列式并计算. 其解题实质就是将几何问题转化为数量问题进行量化处理. 坐标法虽然运算要求较高，但技巧性不高，容易操作，解题过程程式化，可以通过做一定量的试题来进行强化训练. 我们处理立体几何解答题习惯使用坐标法，但对一些点或直线不在特殊位置上，即一些关键点不易用坐标表达时，解题思路容易被坐标法捆住. 题2得分低的主要原因就在于此.

2.2 综合法

对于题1，此题要求我们能从“平面PAC⊥平面ABC”和“△PAC与△ABC是等腰三角形”联想到平面与平面垂直的判定定理和性质定理，然后在△PAC中过P作PQ⊥OE，交OE于Q，交OA于H，并通过这些定理证明PH⊥平面BOE，再过F作FM∥PH，交BH于M，点M即为所求.

分析  此题为什么只有5%的同学选用综合法呢？对于题1，欲直接在△ABO内找一点M，使FM⊥平面BOE，会遇到两个较难处理的问题：一个是M点在哪里;另一个是平面BOE内能比较容易证明与FM垂直的两条直线在哪里. 对此，好多同学感到束手无策，因为要寻找所满足条件的FM离已知条件有些“远”. 俗话说：此处不留人，自有留人处. 能否在靠近已知条件比较“近”的平面上寻找解题突破口？由已知条件，不难发现平面PAC与平面BOE具有垂直关系. 解决此题的关键是将条件“平面PAC⊥平面ABC”转化为“平面BOE⊥平面PAC”，其“OB⊥AC”是连接两者的媒介. 从答题情况来看，我们除了心理上信奉坐标法外，还缺乏对条件“平面PAC⊥平面ABC”的深入思考，以及对平面与平面垂直判定定理和性质定理的理解，致使提取信息时思维通道被堵. 从统计中我们还发现，在平面POA内作出PH⊥OE，交OA于H后，有60%的同学在计算OH长时出现错误或思维发生障碍. 其实，若将眼光放在Rt△PHC中考虑，根据三角形相似性质，容易求得HO= = . 这样在计算上省时省力，解法更显简洁、优美.

对于题2，设PC，BC的中点分别为E，F，则平面OEF与平面APB平行，线段EF就是所求的H点轨迹. 再通过对图形的观察分析，因为PO⊥平面ABC，AC>AF，所以PH与平面ABC所成角中最大角为∠PFO，最小角为∠PCO. 这样不难求得结果.（以下略）

分析  此题虽然有15%的同学选用综合法，由统计知，其中半数的同学在选用坐标法“失败”后，再采用综合法的.

立体几何综合法是利用已知条件及定理、性质、法则等已知事实，将问题的初始状态逐步转化到目标状态. 探索过程常以合情推理作为先导，演绎推理加以完整化和严格化. 其解题过程为，把复杂的图形分解出基本的图形，把不规则的图形“修理”为规则图形，把不规则的位置“调整”为规则位置，把“隐藏”的几何特征“显露”在明处;然后找出满足定理的几何模型，再通过这些定理、性质实现相互间位置关系的转换，最终实现将空间问题转化为平面问题. 在处理较复杂的问题时，还需要作一些辅助线，这是同学们感到比较困难的地方. 相对坐标法来说，综合法思维灵活性大，解题技巧性也高.

2.3 坐标法与综合法合用

对于题2，设E，F分别为PC，BC的中点，则OE，OF分别平行于平面PAB，则平面OEF∥平面PAB，故线段EF就是H点在△PBC内的轨迹. 设 =λ （0≤λ≤1），再由P（0，0，6），E（0，4，3），F（4，4，0）及 = + = +λ ，得 =（4λ，4，-3（1+λ））. 又因为平面ABC的法向量为（0，0，6）. 根据向量的数量积公式可求出直线PH与平面ABC所成角的正弦值為 . （以下略）.

分析  先利用综合法推断出点H的轨迹是线段EF，这样可以发挥共线向量的作用，为设好H点的向量坐标提供了便利. 由此得到的 =（4λ，4，-3（1+λ）），其表达式简洁明了. 此法与坐标法相比较，运算量缩减了不少. 不过接下去求 值域的方法仍与坐标法求解过程类似. 从中得出，对一些关键点用坐标直接难以表达或表达不简洁时，可以结合几何综合法，先得出一些几何特征，然后根据几何特征设置这些点的坐标，这样可避免坐标法所带来的烦琐的运算过程.

对于立体几何有关角、距离的问题，题目所涉及的直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角和它们之间的距离，若在图形中能找到“现成”或容易作出它们所求的角和距离， 一般情况下， 利用综合法处理比较方便. 若条件中所提供的图形没有良好的建立直角坐标系的环境，并且所反映的几何性质对问题解决有明显的帮助作用，此时综合法更有它的用武之地. 对一些立体几何问题，综合法难以入手，条件中所提供的图形又有良好的建立直角坐标系的环境，所涉及的点的坐标易求出，这时坐标法更显示出其解题优势. 在用坐标法处理时，题目中一些重要的几何特征不能被忽视，有时两法联合使用，会收到良好的解题效果.