区域转换二元指数Lévy模型的相关期权定价

中图分类号：C813 文献标识码：A

摘要：期权是金融市场的新宠，我国也将在近期最初期权交易市场。而期权定价一直是研究期权的核心问题。本文通过对经典的BS期权定价模型进行修正，弥补了BS定价模型的一些不足。通过风险中性定价原理，得出了在区域转换二元指数Lévy模型中的定价公式。从而研究在新模型中期权价格的走势，并将其与传统的BS模型进行对比，阐述该模型的优势之处。最后通过MATLAB求出期权价格的近似解，客观的反映期权价格和各个因素之间的关系。

关键词：期权定价；BS模型；区域转换；Lévy模型；相关期权

第1章 绪论

1.1 本课题研究意义

我国有意在最近推出期权产品的交易，在上半年也进行了期權市场的模拟，虽然原定年内开放的期权市场由于各种原因而搁浅。但相信用不了多久，我国的期权市场将会开放，届时将对我国的金融市场造成冲击。投资者将会有更多的投资选择。在期权市场开放之际，了解期权的定价无疑使提前迎接期权市场开放的一个良好途径，希望通过期权定价的研究来更多的了解期权价格的定价规律和基本运作，为我国经济多样化提供一定的理论基础

1.2 主要研究内容

首先介绍期权定价的基本知识，在这基础上推导出区域转换二元指数Lévy模型的定价公式。再通过数值变换的方法将其表示为离散和的形式，通过MATLAB程序来得到期权价格的数值解。最后通过得到的数值将区域转换二元指数Lévy模型和BS模型做对比，并探究在区域转换二元指数Lévy模型下影响期权价格的因素。

第2章 区域转换二元指数Lévy模型

2.1指数Lévy过程

考虑模型中只包含有两个原生资产：可连续交易的股票和资金账户。货币资金的市场瞬时利率为r，则货币资金账户价格变化过程{Bt}t∈[0，T]可表示为：

dBt=rBtdt，B0=1.（2.1）

在跳扩散模型中，股票价格为指数Lévy形式：

St = S0 eLt （2.2）

其中Lévy过程是带漂移项的维纳过程和复合泊松过程之和：

Lt=（r-σ22-λE（eYi-1））t+σWt+∑Ntn=1Yn（2.3）

若γ为决定随机跳跃次数和随机跳跃幅度x=Ls-Ls-的随机测度，根据Rivasseau（2007）的结论：

Lt=（r-σ22）t+σW+∫t0∫+∞-∞xγ（dx，ds） -∫t0∫+∞-∞（ex-1） k（x）dxds（2.4）

2.2 区域转换二元指数Lévy模型的风险中性定价

在风险中性的世界中，由于所有投资者对风险不需要额外回报，使得投资的回报率期望均为无风险利率，因此只要对资产价值的期望通过无风险利率贴现，就能得到任何现金流的现值。

考虑一个欧式看涨期权，标的股票价格为S1（t），S2（t），执行价格K1，K2，到期日T，根据风险中性定价理论，欧式看涨相关期权在到期日T的支付为：

「S1（0）eL1（T）-K1+「S2（0）eL2（T）-K2+（2.5）

设ki=（lnKi/Si（0）），i=1，2

则欧式看涨期权期权价格可表示为：

C（k1，k2）=S1（0）S2（0）E{e-R（T）（eL1（T）-ek1）+（eL2（T）-ek2）+（2.6）

第3章 区域转换二元指数Lévy模型与BS模型的对比

3.1 区域转换二元指数Lévy模型和BS模型下的期权价格模拟

假设样本中的期权的到期期限都是1年，即T=1。这里我们选取其中一部分数，ln（K1/S1（0））或ln（K2/S2（0））取-0.4，-0.2，0.0，0.2，0.4，。 MATLAB运行结果如下：

通过对表1和表2给出的两个模型下得到的期权价格进行比较，我们发现含有Regime-Switching因素和指数Lévy过程的相关期权模型，相对于经典的BS模型在总体上要高。通过对其他文献的阅读，发现这是因为Regime-Switching 因素指数Lévy过程都增加了一定的风险补偿，从而提高了欧式看涨期权的价格。

参考文献：

[1]万军，刘思峰，许海靖.基于状态转换GARCH模型的上证综指已实现波动研究[J].工业技术经济，2008，27（4）：128-132.

[2]朱钧钧，谢识予.状态转换和中国股市的独特特征——基于马尔可夫状态转换-自回归模型的分析[J].上海金融创刊30周年征文，2010：50-54.

[3]Ang A.， Bekaert G. Regime Switching in Interest Rates [J]. Journal of Business and Economic Statistics， 2001.

作者简介：

项伟波（1990-），男，汉族，浙江丽水人，硕士，单位：浙江财经大学，研究方向：金融工程。