趣题巧解点石成金

秦琦

摘 要：克莱因曾说：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身存在提出的问题。”我们在教育教学中不能淡化传授数学精神的意识，要始终坚持不仅教给学生知识，而且注重在知识的潜移默化中让学生领悟数学精神，感悟数学文化。

关键词：数学教学； 趣题巧解

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2014）12-051-001

数学的抽象性、严密性和应用的广泛性常常会使学生不理解，甚至望而却步。有些抽象、枯燥的数学知识对于学生来说，就像是一颗颗顽石拦在他们面前，学生只能避让或绕道而行。

苏教版数学五年级下册“最大公因数和最小公倍数”是非常有趣的知识，通过书本的学习，学生观察概括、探索并理解了公倍数、最小公倍数的含义，掌握了求两个数的最小公倍数的方法。学生除了课堂上书本中的知识，更希望汲取更多的知识养分。在此基础上，笔者大胆设想上一节思维训练课《有趣的公倍数》，决定打破以往固有的“非此即彼”的思维方式，坚定“一课一得”的目标。不仅仅着重于知识点的讲授，而在于对“同余问题”的深刻理解和数学思维的强化训练，以及对数学兴趣的培养。

一、趣题——迸发思维火花

在思维训练课中习题是重要组成部分，老师选择什么样的题目，是学生对所学知识的实践应用，是促进学生拓宽知识面，发展思维的重要手段。在这节数学课中，笔者结合历史故事“韩信点兵”作为问题主线设计了一系列递进式数学问题。第一层次——基本“同余”问题。“营地士兵六百有余，先分七路纵队站好，结果多3人，改成九路纵队，结果还是多3人。营地的士兵至少有多少人？”通过几次追问让学生理解题意，“如果把这些士兵分成七路纵队没有剩余，那么说明士兵人数是7的——？”“如果分成九路纵队也没有剩余，那么又说明什么呢？”“如果分成七路纵队没有剩余，分成九路纵队也没有剩余，那么士兵人数就是——（7和9的公倍数）。”第二层次——复杂“同余”问题。“一队士兵隔墙站队，每三人站成一排，最后一排少一人。每五人站成一排，最后一排少三人。这队士兵至少有多少人？”这次的同余并不是那么容易发现的。第三层次——“同少”问题。“士兵数量不超过80人，每6人站一排，最后剩4人；每9人站一排，最后一排少了2人。士兵最多有多少人？”这也是同余问题的一种题型，只是平均分后不是剩余而是缺少。

二、趣闻——丰富知识内涵

数学阅读是培养学生数学素养的有效途径之一，一堂课的教学时间是有限的，而数学阅读不只包括对数学教材的阅读，还包括对与数学有关的科普知识及课外材料的阅读，因此教师在课堂上必须注重阅读延伸，提升学生的数学素养。这节课可以结合公倍数的知识引出《孙子算经》中的经典数学题——“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”并透过这类问题向同学们介绍宋朝数学家秦九韶。从《孙子算经》的“物不知数”题到秦九韶的“大衍求一术”，我国古代数学家对一次同余式的研究，在世界数学史上取得了辉煌的成就。相同的理论，西方晚了五百多年。

在这些介绍和了解中，学生自然感悟到每一个数学规律的发现，定理的归纳都是一部数学发展史，它们都经历了漫长的历史时期，其间的每一项成就都是以无数次的挫折和失败为代价，无不包含着数学家对数学刻苦钻研、勇于探索，并为之奋斗终身的精神；无不包含着数学家对数学发展所起的巨大推动作用。

三、趣解——提升数学素养

在这节课中就“解题”本身，笔者在设计中强调了以下几点：第一，加深对同余问题的理解。从抽象、逻辑上理解这种类型的习题，而不能流于直观化、表面化（而这正是大多数学生的问题所在）。本节课为了让学生了解《孙子算经》中“物不知數”题的经典解题方法，教师特意设计了递进式的习题，通过多思考、多分析，并向学生展示思考过程，鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题。第二，学会对概念与公理的运用，形成本能。如果学生能潜意识运用知识和解题方法，这将会培养学生深刻理解问题本质，从基本假设出发建立理论体系的能力，这些对学生日后的学习发展将有不可估量的影响。第三，分散难点，让学生乐于思维。比如较难的同余问题，可以引导学生找到关键句，并把它转化成容易理解的基础同余问题。“一队士兵隔墙站队，每三人站成一排，最后一排少一人。每五人站成一排，最后一排少三人。这队士兵至少有多少人？”其中两个条件可以转化成同一句话“最后一排多2人”。这样把较难的问题根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，也就创造了条件让学生乐于思维。在课上笔者还向学生介绍《孙子算经》这本古代数学专著，里面记载着我们熟悉的“鸡兔同笼”题，还有“物不知数”题。不仅引导学生解答有关公倍数的难题，还出示了明代数学家程大位写的诗歌——“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”这是这类问题的另一种解法，学生们非常感兴趣。部分学生在理解的基础上还会运用此类方法解答其他“物不知数”题——“今有物，二百至四百间，三三数之，剩二，七七数之，剩三，八八数之，剩五，问物几何？”

虽然思维训练课的内容是课本知识的深入拓展，题目难度增加，学生解题能力有差异，有不少学生心有余而力不足，但是他们并未因此而轻易放弃，部分学生钻研难题的积极性和学习氛围感染了班级里更多的学生，他们都愿意投入到探索研究中来。学生不仅通过解决难题的过程获得所需的数学知识、思想方法，更培养了他们勇于探索、勇于创新的数学精神。这种精神，作为数学知识深处的本质力量，已经被激发出来，变为“点石成金”的神奇“催化剂”。