浅谈构造法在中职数学解题中的实际运用

斯日古楞 山丹

【摘 要】著名数学家华罗庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁……无一不可用数学来表达。”数学是一种精灵古怪的学科，它蕴含的是智慧，展示的是风流，是科学领域中最为神秘的宫殿。数学是一种贯穿思维的理性艺术，是打开科学大门的一把金钥匙。美国当代数学家哈尔斯提出了“问题是数学心脏”的论说，它简洁生动地揭示了数学学习就是“生疑—质疑—释疑”的过程。然而有些问题是无法通过直接推理能够顺利进行的，只能通过题设和结论的桥梁来加以沟通解决。这种桥梁往往隐含在题设之中，需要人们去发现和构造。数学构造法既十分巧妙又很有价值。本文结合中职数学教学的实践与思考，试简要阐述之。

【关键词】中职数学 构造法运用 学生能力培养 实践与思考

数学宗师乔治·波利亚曾经指出：“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动。”这是在突出强调数学思维的必要性和重要性。在科学发展史上，诸如高斯、拉格朗日等人都曾经运用构造法非常成功地解决过数学方面的重大难题。什么是数学构造法呢？就是人们在实际解题过程中，经过认真地观察、分析和思考，把所要解决的问题转化为一个比较合适的等价问题，并把原问题作为已知问题去思考一个可能相关的问题，或者首先去解决一个既可特殊又可一般的问题，然后促使原来数学问题得以最终解决的一种方法。构造法既是数学运用的基本思想方法，也是数学思维的一种巧妙艺术。在中职数学教学中如何进行实际运用呢？本文试从以下几个方面对此作出抛砖引玉之论。

一、数学构造法的价值意义和解题步骤

在数学解题中恰当而合理地运用构造法，一方面可以有效地提高学生的解题能力，从中收获简洁明了、出奇制胜的效果；另一方面，还有利于培养学生以抽象思维能力和发散思维能力。它是培养创新意识和创新思维能力的有效手段之一，具有极其重要的数学价值和解题意义。构造法的主要特点是“构造”，而审题则是其中最为关键的环节。在运用这种解题方法时，我们要注意把握两个方面问题，即“为什么而构造”和“如何把握题设条件的特点”。在此基础上，构造法的一般性解题步骤可以归纳流程如下：①认真审题，精准把握题意。主要体现在“确认问题类型”“弄清其中主要已知项”“明确所求问题的结论”等三个方面；②根据已知条件，精准构造一个与原命题紧密关联的数学模型；③利用上述所构的数学模型，把原本复杂的数学问题转化为相对简单、具体的新问题，从而迅速获解并得出最终结论。

二、数学构造法的主要类型及实际运用

1、逆向构造法的类型及其运用。就是按照逆向思维（或求异思维）的方式，让学习思维向其对立方向发展，从问题的相反面进行推导；或者对于某些特殊问题，从结论往回推进行倒过来思考，使得问题更趋简单化，以便于最终解决。【例1】求和：S=1×3+2×4+3×5+…+n（n+1）（1+2）.分析如下：若按照常规求和方法考虑上述题目是比较困难的，我们引导学生不妨进行逆向性思考，构造一个比数列更高阶但结构比较相似的数列S=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+n（n+1）（n+2）（+3）.然后顺其方向继续深入地思维下去，问题就可以得到最后的解决。这是一种与由繁到简的习惯方向完全相反的思考途径。历史上的“司马光砸缸”就是逆反思维的聪明之举。在中职数学教学过程中，适当开展逆向思维的训练活动，能够有效打破学生的惯性思维模式，促使他们在实践活动中敢于“反其道而思之”，对于活化思维方式和培养创新能力，能够发挥不可或缺的促进作用。

2、归纳构造法的类型及其运用。就是通过许多个别现象归纳出共有特性，从而得出一般性结论的一种论证方法。归纳法既可先举事例再归纳结论，也可先提出结论再举例加以证明。【例2】已知f（n）=（2n+7）×3^n+9，存在任意自然数m，使得对任意n属于整数，都能使m整除f（n），求m的最大值。解题程序如下：由f（n）=（2n+7）×3^n+9得f（1）=36， f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.接着用归纳法予以证明：①当n=1时，显然成立。②假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）×3^k+9能被36整除；当n=k+1时，[2（k+1）+7]×3^（k+1）+9=3[（2k+7）×3^k+9]+18（3^（k-1）-1），由于3^（k-1）-1是2的倍數，所以18（3^（k-1）-1）能被36整除。也就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除。由①②可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）×3^n+9能被36整除，m的最大值为36.有目的地联想能打开思路、拓宽视野。

3、直觉构造法的类型及其运用。“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起。”而直觉思维虽是非逻辑思维的一种，但它与逻辑思维的统一构成了创造性思维，又因“是持久探索和思考的结果”，仍然具有逻辑性。【例3】求sin10×sin30×sin50×sin70的值。首先假设A=sinlO×sin30×sin50×sin70，再构造对偶式B=coslO×cos30×cos50×cos70，由A×B 可逐步求出A 的值。在这一解题过程中，对于式子B=oslO×cos30×cos50×cos70的构造，就是凭借感性经验、已有知识结构和潜在性解题意识汇合作用而产生的想法。这种具有创造性的思维方式就是直觉构造。换言之，直觉是一种直接的领悟性的思维方式，其活动原理正如钱学森所言：“…是在潜意识中酝酿问题，然后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案，而对信息加工的具体过程，我们则没有意识到。”如是而已。

此外，构造法还有类比和联想等其它类型。数学解题构造法是一种富含创造性元素的方法，它在抽象、联想、概括、归纳、类比等数学方法中都有实质性体现。在中职数学教学中，运用构造法对培养学生的自主学习能力、促进其可持续发展能力将产生深刻久远的影响。