运用“变式策略”促进小学生数学语言的发展

孙兴华

变式指改变形式，即不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断变化，以揭示其本质属性的过程. 变式分为：概念性变式和过程性变式.

概念性变式是反映事物本质属性的一种思维形式. 数学概念是反映思考对象空间形式、数量关系本质属性的思维形式. 数学概念可分为两个重要方面：一是概念的“质”，也就是概念的内涵（对象的本质属性）；二是概念的“量”，也就是概念的外延（具有概念所反映的本质属性的对象）. 根据概念的外延将概念性变式分为概念变式和非概念变式. 属于概念的外延集合的变式称为概念变式，其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式. 标准变式有助于准确理解概念，但局限了概念外延的范围；非标准变式从多角度理解了概念，有助于概念的完整把握. 另一类是不属于概念的外延集合，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，称为非概念变式. 非概念变式的形式很多，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式. 非概念变式主要来源于概念之间的逻辑关系和学生常见的错误. 非概念变式，一方面可以帮助学生建立相关概念之间的联系；另一方面也可以预防或者澄清学生在概念理解时可能出现的混淆，从而确切地把握概念变式的本质特征. 概念性变式的目的是让学生获得对概念的多角度理解.

数学教学包括两种类型的活动：一种是陈述性知识（即概念），另一种是程序性知识（即过程）. 由于程序性知识是动态的，采用静止的概念性变式不能促进学生的学习过程. 因此，顾泠沅先生在20世纪80年代初提出了“过程性变式”，将数学变式从概念教学推广到活动经验的教学. 数学活动过程的基本特征是层次性. 它包含为解决问题而采用的一系列不同步骤和策略. 过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验. 采用程序性变式，学生能够解决问题，并形成不同概念之间的层次关系或获得多种方法.

概念性变式与过程性变式的主要区别在于：概念性变式是静态的，侧重于对象之间的比较，通过概念对象和非概念对象的变异突出概念的本质属性及其固有的边界；而过程性变式是动态的，侧重于过程之间的联系，通过对数学活动过程的析离或分割，在前后知识之间进行适当的变式铺垫.

一、形成和明确数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、概括，培养准确表达的言语能力

在概念思维中，人们形成一个概念就要在思维过程中对一类事物共有的本质进行概括. 这种概括是否明确，影响所形成的概念是否真实、正确. 可见，能否对事物属性进行正确概括是人的思维能力的重要组成部分. 在数学教学中，教师应当启发学生积极参与形成和明确概念的全过程，从中训练能正确概括的语言表达能力. 在这方面，变式训练能发挥积极作用.

在“成正比例的量”的教学过程中，因为用数据列举的方法表示数量的变化形式单一枯燥，不能引起学生的关注；而图表表示量的多少具有概括性，它能清楚地表示两个量变化的关系，而且数据的无穷尽，一个省略号，任由学生想象，渗透无限变化的思想. 另外，在折线统计图中，当折线趋于平直时，也就是一个量的变化不能引起另一个量的变化，它们不相联的关系也能直观地在学生头脑里想象出来，所以利用图形让学生感悟相关联的量会达到事半功倍的教学效果. 教学时，教师引导学生观察、分析每幅图两个量变化的关系，从而使学生由抽象的数据结合具体的图例正确理解“什么是两个相关联的量”，渗透一定的函数思想. 另外，从语言的表达角度看，形象化的圖形适合小学生认知心理，便于小学生组织语言从数学的角度观察数据的变化，引发认识的共鸣.

二、在理解数学规律的过程中，利用变式使学生深刻认知各种规律之间的联系，从而培养多向变通的语言理解能力

数学思维的发展，还有赖于掌握、应用数学运算律和公式去进行推理和演算. 由于数学规律的实质也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以数学规律的关键在于理解概念之间的联系. 对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活运用数学规律的根源，是缺乏多向变通思维能力的结果. 在运算规律和公式的教学中，也可利用变式，指导学生深刻理解运算律和公式中概念的多种联系，融会贯通，促进学生对运算规律和公式的理解，发展学生的数学语言.

三、在解题教学中适当应用变式，促进学生把握问题本质，促进学生对数学语言的理解，发展学生的数学思维

解题教学中，变式常常表现为两类：一类为解题变式，即“一题多解”；另一类为题型变式，即“一题多变”. 就是说，教学中可以变换题目的条件或结论，变换题目的表现形式，而题目本身的实质不变. 用这种方式进行教学，可防止学生对所学的基础知识或已掌握的基本技能陷于僵化，所以在教学中可借变式帮助学生进行发散思维的训练，更好地掌握、理解数学语言，用数学思想解决问题.

四、运用变式教学，可以确保学生参与教学活动的持续的热情

课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，因此我们的教学要有吸引力，要能让学生带着自己已有的知识经验参与其中，成为课堂学习的主人，这也是现代数学教学的趋势. 而变式教学就可以注重教材前后知识的衔接，题目设计由易到难，形成一定的层次，循序渐进，通过对各题的分析，概括出各题中共同的、本质的东西，以达到由一题向另一题的迁移、对一般原理的进一步认识的目的，让我们的数学活动有层次地推进，永远给人以新鲜的感觉. 这样能够唤起学生的好奇心和求知欲，产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情.

当然，我们要抓住学生的心扉，还要以课堂教学内容的新、奇，问题的挑战性等不断吸引学生，所以教学中教师不断变更观察问题的角度、同类问题的难易度等过程性变式，以此来刺激学生的感官，确保学生参与教学活动的持续的热情，让学生畅所欲言，发展学生的思维，促进学生数学语言的发展.