初始状态变化的非线性奇异系统的实用稳定性

王贵元

【摘要】本文利用类李雅普诺夫函数方法和比较原理，研究了初始状态变化的非线性奇异系统的实用稳定性、一致实用稳定性及实用渐近稳定性.通过借助类李雅普诺夫函数，同时给出相应的比较系统，得到了这一类系统实用稳定、一致实用稳定及实用渐近稳定的充分条件.

【关键词】实用稳定性；奇异系统；不同初始状态

【中图分类号】0175.13

1.引言

Lyapunov意义下的稳定性指的是系统平衡点附近的解的性态.现实中经常存在这样的情形，有些系统在Lyapunov 意义下是稳定的，但保证其稳定的区域很小，在实际中无法应用；还有一些系统在Lyapunov 意义下不稳定，但解的偏差却在可接受的范围之内，基于这一事实，实用稳定性的概念被提了出来.实用稳定性就是研究那些系统，其平衡点在数学上可能是不稳定的，但是在实用上是可以接受的，因此，研究系统的实用稳定性具有一定的现实意义.

对于不同的微分系统，已有学者给出了实用稳定的充分条件，文献[1]研究了初始时刻不同的非线性微分方程的实用稳定性，文献[2][4]讨论了脉冲系统的实用稳定性，利用比较原理给出其实用稳定的充分条件，其中文献[4]利用两个类李雅普诺夫函数研究了非线性脉冲系统的严格实用稳定性；对于带扰动的脉冲系统，文献[3]给出了该类系统一致实用指数稳定的充分条件；文献[5]利用Lyapunov第二方法，在无穷时间区间上分析了切换系统的实用稳定性及时变子系统稳定化的设计问题.

研究系统的实用稳定性，尤其是在脉冲系统中往往采用比较原理.本文利用类Lyapunov函数法及比较原理，对于不同的初始时刻，研究了初始状态变化的非线性奇异系统的实用稳定性、一致实用稳定性及实用渐近稳定性，给出了该类系统实用稳定、一致实用稳定及实用渐近稳定的充分条件.

2.预备知识

考虑非线性奇异系统

4.结语

对非线性奇异系统（1）实用稳定性的研究，往往是基于初始时刻不变的情况下，本文我们利用类李雅普诺夫函数法和比较原理，研究了初始状态变化的非线性奇异系统的实用稳定性、一致实用稳定性及实用渐近稳定性，给出了该类系统实用稳定、一致实用稳定及实用渐近稳定的充分条件.

【参考文献】

[1] Xinyu Song ， Senlin Li ， An Li. Practical stability of nonlinear differential equation with initial time difference. Mathematics and Computation 203 （2008）157-162.

[2] Yu Zhang， Jitao Sun.Eventual practical stability of impulsive differential equations with time delay in terms of two measurements.Journal of Computationaland Applied Mathematics 176 （2005） 223-229.

[3] OHSEN DLALA and MOHAMED ALI HAMMAMI.Uniform exponential practical stability of impulsive perturbed systems[J].Dynamical and Control Systems， Vol. 13， No.3， July 2007， 373-386.

[4] Senlin Li， Xinyu Song， An Li.Strict practical stability of nonlinear impulsive systems by employing two Lyapunovlike functions[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications 9 （2008） 2262-2269.

[5] Xuping Xu and Guisheng Zhai.On Practical Stability and Stabilization of Hybrid and Switched Systems[J].Hybrid Systems： Computation and Control（2004）.