极限概念的教学探讨

贾亚琼

【摘要】极限的概念、思想是高等数学的第一道门槛，本文主要讨论了教师在极限概念的教学中，学生最容出现的三类问题，以及这些问题对应的解决方案.

【关键词】极限；教学方法；符号语言

【中图分类号】G642.4【文献标识码】A

一、极限概念教学中的问题

极限概念不仅是初等数学和高等数学的分水岭，更是高等数学的基础.所以，理解极限的思想，掌握极限的概念和方法是学生步入大学学习高等数学的第一道门槛，因而教师对极限概念的教学也成为了高等数学教学重中之重.然而，就像极限理论的发展迂回曲折一样，学生对极限概念的学习也面临着许多艰难险阻，这些困难如果没有很好地解决，可能会对后面微积分的学习产生不良影响.接下来我们具体分析极限概念教学中的问题[1].

1.感性到理性

学习的发展过程本身就是从简单到复杂，从具体到抽象，从感性到理性，从有形到符号，而高等数学更是复杂、抽象、理性、符号的集成，因而，这门课对学生的抽象、理性，符号语言认识思维能力也就提出了较高的要求和挑战.而教师在这其中也扮演了十分重要的角色，特别是如何解决感性到理性、有形到抽象等等的过渡，是奠定一堂课效果的基石.

而极限概念中的无限思想，正是现代数学的标志.学生过去对无限的理解基本来源于经验认识，例如，有的从宇宙的浩瀚无际来理解无限，有的把天上的星星数也数不清就认为是无限多颗，也有的把树上的叶子来比喻无限多等等，所以学生对无限的理解并不一致，甚至是对于极限中的无限的思想来说是错误的认识.所以，帮助学生突破过去从感性上对无限可能错误的理解，并建立起学生在理性上对无限在数学中的认识，是极限概念教学中的第一步.进一步到极限概念的描述性定义的理解，也同样面临着把学生感觉中对过去极限的经验认知，转化为用理性语言描述的知识的感性到理性的跨越.

2.描述性概念到抽象符号语言定义

当学生达到第一步理性上对极限概念的理解接受后，接下来要面对的第二个需要跨越的障碍就是极限定义中抽象的符号语言的障碍[2].

可以看出，符号语言定义高度抽象概括，逻辑结构严密而又复杂.而数学符号语言又属于人工符号语言系统而非自然语言系统，所以这自然又成为学生学习、接受和理解极限定义的又一个障碍，这也是教学中的难点.

3.认识符号语言到掌握、习惯抽象符号语言

当学生完成第二步，接受并理解极限的符号语言定义后，面临的第三个问题就是如何掌握并习惯这种符号语言，进而熟练地运用符号语言来解决证明极限等相关的问题.

二、极限概念的教学方法探讨

针对以上提到的三点问题，教师在教学过程中可以设计不同的方法来解决相对应的问题.下面逐一针对以上的三种问题来讨论相适应的解决方法.

1.数形结合

首先，针对学生对极限概念的理解上的从感性到理性跨越的问题，可以采用数形结合的方法来解决[4].因为从极限的理论上来看，极限的概念是复杂和高度抽象的，学生直接接受这种复杂、高度抽象的概念比较困难，所以需要先让学生充分感知和体验极限概念的定性描述，亲身经历从具体到抽象的过程.而数形结合是一个很好的化抽象为形象的方法，所以在开始介绍极限概念的同时，以数列极限为例，教师应当列举一定数量的存在极限的数列实例，这些实例尽量具体、简单，并且可以清晰地在坐标系中画出来，引导学生通过图像可以很轻松地观察并判断出这些数列的变化趋势.有了这样的体会，学生基本就可以接受“随着n增大，数列{an}越来越接近某个常数A，则称A为数列{an}的极限”这样相对抽象的数列极限的描述性定义.

2.定义翻译法

3.理论与实践相结合

在通过翻译法引出了极限的符号语言定义后，最后一步就是让学生熟悉、掌握并习惯使用它来证明极限的存在问题.这也是极限定义教学中的重点和难点.在这里，教师可以通过实践来向学生展示抽象的极限定义如何在具体的实例中使用.同样以数列极限为例，因为在定义的翻译中已经展现了N的值确定的由来，即通过求解| an-A|<ε的不等式，由最后解出的n的范围来确定N的值，所以在证明的过程中，也可以理所当然地用这样的步骤来确定N的值.虽然学生可能一开始在感觉上不习惯、不适应，但整个定义来龙去脉的过程如果已经在定义的讲解中让学生在理性上接受了，接下来就可以在实践中去适应这样的思维、逻辑和步骤，通过教师讲解的一些实例，再加上学生练习的一些实例，最终就可以克服学生感觉上的不习惯，变成学生熟悉并习惯的数学语言和思维.

三、总结

极限的概念、思想是高等数学的第一道门槛，本文讨论了在教学中学生最容出现的三类问题对应的解决方案.教学相长，在教学的过程中，学生出现的问题也是教师提高自身素养的机会，而教师的成长和进步，也可以使学生在学业上得到更及时有效的帮助.因而在教学过程中，可以继续去发现、了解学生的问题，并同时借鉴更多的优秀经验来解决这些问题，不断地提升教师自身能力和素质，促进教学更顺利、有效地进行.

【参考文献】

[1]李莉，谢琳.关于学习极限概念认知障碍的研究与分析[J].数学教育学报，2006年2月，15（1）：42-44.

[2]邵光华，刘明海.数学语言及其教学研究[J].课程·教材·教法，2005（2）.

[3]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]杨泽恒.数学分析课程极限理论教学的一些实践与思考[J].大理学院学报，2007，6（10）：82-84，87.

[5]高兴佑，向长福.如何破解极限定义教学难题[J].数学教育学报，2011年10月，20（5）：96-98.