浅析函数极限的教法研究

唐建民

【摘要】函数极限是高等数学中微分学与积分学的理论基础，且在实际应用和理论研究中也有至关重要的意义.极限的计算也是高等数学学习的基本要求，但在课堂教学中，学生对极限不能有一个整体的了解，导致碰到极限问题不知所措，无从下手.本文着重于函数极限教学方法的研究，主张从基本上概念着手，先易后难，循序渐进，最后归纳总结，让学生形成整体的知识结构体系.

【关键词】函数极限；教学方法；知识结构体系

高等数学是用极限思想方法来研究函数，函数极限的定义非常抽象，不容易理解，在教学中教师必须用通俗易懂的语言让学生理解定义.另外，函数极限的计算也是教学的核心内容，不论是函数导数或定积分的概念都可归结为函数极限的计算，然而出于教材内容的有限性及教学课时的限制，高校教师在介绍函数极限时往往生硬地直接给出函数极限的“ε-δ”定义，至于极限的计算也仅仅针对具体的题目简单地介绍做法.而在一些高职院校，大部分学生数学基础本身就不太好，当碰到这种问题时，根本就摸不着头脑，更别说让学生系统地掌握函数极限及其计算方法了.为解决上述问题，我们可以采取如下教法：

一、极限概念解读

首先介绍简单而特殊的函数—— 数列极限的描述性定义，以数列极限为跳板，再来讨论一般函数的极限，注意区分一般函数极限与数列极限的联系与差别，先易后难，在实际举例中，尽量采用数形结合的方法帮助分析函数的变化趋势，循序渐进，使学生更容易接受.

定义1设{xn}为一数列，若当n取正整数且无限增大时，数列中对应的项xn无限接近一个确定的常数A，则称A为数列的极限，记作： limn→∞xn=A.

定义1是数列极限的描述性定义，它说明数列极限是一种变化趋势，随着项数无限变大，数列的项值会无限地接近一个常数.这就是极限的本质.相应地，对于一般函数的极限我们也可作类似定义.当自变量x在某一种变化过程中，函数f（x）相应的函数值会无限接近一个确定的常数A，则称A为函数f（x）在此变化过程中的极限.这也说明了函数的极限与函数在此有无定义无关，它仅仅刻画了一种变化趋势.例如，当x→1时，函数f（x）=2x+1无限地接近3，所以称当x→1时，函数f（x）=2x+1的极限为3，记为limx→1（2x+1）=3.再例如，x→∞时函数f（x）=1x无限地接近0，所以当x→∞时，f（x）=1x的极限为0，记为limx→∞1x=0（事实上f（x）=1x不可能等于0）.值得一提的是，函数自变量的变化过程主要有三种，无限趋近于定点x0，无限趋近于+∞，无限趋近于-∞.这样看来，一般函数的极限比数列的极限讨论起来要复杂，但是始终没离开过函数值无限接近某常数的讨论.

二、极限计算方法

作为对教材内容的一个补充，最重要的是要归纳总结函数极限的计算方法，能够对症下药，掌握极限计算的基础方法，让学生形成整体的知识结构.

利用定义可以直接观察得到一些简单函数的极限，但是一些相对复杂函数的极限，得给出一系列的计算方法，这里我简单总结了三种常见极限的计算方法.

（一）连续型函数的极限

（二） “00”型极限

在讨论函数在点x0处的导数定义时，我们总是会碰到这么一类分式极限：当自变量x→x0时，分式函数分子、分母都趋于0，我们将这类极限称之为“00”型未定式.洛必达法则在计算这种极限时非常具有优势，再适当地结合使用等价无穷小替换，可以大大简化计算量.大部分情况下，结合等价无穷小替换定理，再使用有限次洛必达法则以后，原极限的计算都可以转化成连续型函数的极限的计算，基于上述连续型极限的计算方法，我们可以很快计算出函数的极限.例如，limx→0sinxx=limx→0（sinx）′x′=limx→0cosx1=1（这就是两个重要极限之一）.

（三） “∞∞”型极限

当自变量在某一种变化过程中，若分式函数中分子、分母都趋于无穷大，我们称这种分式函数的极限为“∞∞”型未定式.解这类极限，主要有两种方法，其一是将分子分母同除以自变量最高次方，再根据函数极限的四则运算法则来计算.其二是尝试使用洛必达法则来求.这两种方法各有优势，当洛必达法则无效时，第一种方法一般可以起到很好的效果.例如limx→∞x+sinxx=limx→∞1+sinxx=1（不满足使用洛必达法则的条件），再例如limx→∞2x2+3x+1x2+5=limx→∞（2x2+3x+1）′（x2+5）′=limx→∞4x+32x=2（这里两种方法都适用）.

总结上面简单介绍了极限的概念及三大类型极限计算方法，在高职院校的教学中，教师可以重点把握这两个内容，将它讲细讲透，或许能够给数学基础不太好的学生在学习高等数学时有一个好的开头，渐渐提起对数学的兴趣，扼杀对数学学习的恐惧感.总之，要提升学生数学的基本素养与技能，就必须重视教学方法，教师要研究每一个教学环节，特别是高等数学的基础内容函数的极限.有个好的开始，才有继续学习的动力.