一类矩阵方程的扰动边界

高东杰

摘 要： 扰动理论是研究方程稳定性的重要工具，扰动边界是扰动理论的重要组成部分.文章研究了一类非线性的矩阵方程X-■A■■X■A■=I，此类方程源自一个差值问题，利用一般的扰动理论，给出了矩阵方程的扰动边界.

关键词： 矩阵方程 正定解 扰动边界

先介绍一下文章的研究对象：

X-■A■■A■■X■A■=I， （1）

在此方程中，A■∈C（n），i=1，2，…，m，I是一个n阶的单位矩阵，A■表示矩阵A的共轭转置.我们要研究此方程正定解的扰动边界，这类方程来自于一类差值问题，详见[1].

Ran[1]证明了方程X=Q+A■（■-C）■A总有唯一的正定解，Xu[2]对方程X=Q+A■（■-C）■A的唯一解进行了扰动分析.我们在此基础上，接着讨论Eq.（1）唯一正定解的扰动边界.对此特殊情况，我们已经有很多成熟的结论（见[3-5]），本文就方程的一般情况进行研究.

1.准备知识

Ran[1]在文中证明了方程X=Q+A■（■-C）■A总有唯一的正定解，其中Q∈P（n），A是mn×n阶矩阵，■=diag（X，X，…，X）是分块对角矩阵，X是n阶方阵.我们作如下变形.令

A=A■A■…A■.

其中A■（i=1，2，…m）是n阶方阵.取Q=I，C=0则

X=Q+A■（■-C）■A=I+A■■A.

=I+（A■■ A■■ … A■■）X X ？埙 X A■A■…A■.

=I+A■■X■A■+…+A■■X■A■

=I+■A■■X■A■

所以Eq.（1）是方程

X=Q+A■（■-C）■A.的特殊形式.

由以上推导和[1]的结论，我们给出有关Eq.（1）唯一正定解的以下结论，证明比较容易，可参考文献[1].

定理1[1] 对任意的矩阵A∈C（n），Eq.（1）总是存在唯一的正定解，记为X，并且任意给定初值X■P（n），迭代序列

X■=I+■A■■X■■A■

总是收敛到X，即■X■=X.

接下来，我们开始讨论唯一正定解的扰动边界.

2.扰动边界

我们令矩阵A■和X进行轻微扰动，并且记■■=A■+△A■和■=X+△X，其中△A■∈C（n），△X∈H（n）.则Eq.（1）扰动后变为

■-■■■■■■■■=I. （2）

利用（2）式减去（1）式可得

△X+■B■■△XB■=E+h（△X）， （3）

B■=X■A■（i=1，2，…m）

E=■（B■■△A■+△A■■B■+△A■■X△A■）

h（△X）=■B■■△XX■△X（I+X■△X）■B■

-■△A■■X■△X（I+X■△X）■B■

-■A■■■X■△X（I+X■△X）■X■△A■.

接下来，我们定义线性算子L：H（n）→H（n），

LW=W+■B■■WB■.（i=1，2，…m）

利用[2]中的引理1.2和命题（1.5），可以推知算子可逆.

再定义算子P■：C（n）→C（n），

P■Z=L■（B■■+Z■B■），Z∈C（n）.（i=1，2，…m）

从而（3）式变为

△X=■P■△A■+L■（■△A■■X■△A■）+L■[h（△X）].

记

ξ=‖X■‖，l=‖L■‖■，p■=‖P■‖，α■=■‖A■‖■，

？藓=■p■‖△A■‖+■■‖△A■‖■，δ=■■‖△A■‖（2‖A■‖+‖△A■‖）.（4）

定理2 令X和■分别是Eq.（1）和Eq.（2）的解.记

？藓1=■■.如果δ<1且？藓<？藓1，

得到‖■-X‖≤■≡v■，

并且

■≤■，

证明：令f（△X）=■P■△A■+L■（■△A■■X■△A■）+L■[h（△X）].f（△X）是从到H（n）的连续映射.由δ<1和？藓<？藓1可知方程

（lξ+α■ξ■）v■-（lξ？藓-lδ）v+l？藓=0

有两个实根.其中较小的实根为：

v■=■，

定义集合φ■={△X∈H（n）：‖△X‖≤v■}，对任意的△X∈φ■，都有

‖X■△X‖≤‖X■‖‖△X‖≤ξv■≤ξ■=1+■

利用δ<1和？藓<？藓1，可得

ξ？藓+δ-1≤δ-1+ξ■

=■<0.

从而‖X■△X‖<1，即I+X■△X是非奇异的，并且

‖（I+X■△X）■‖≤■≤■.（5）

对于f（△X），由（4）和（5）得

‖f（△X）‖≤？藓+■+■

≤？藓+■+■

=■=v■

即f（φ■）？哿φ■.由Schauder不动点定理，可知存在△X■∈φ■一定满足f（△X■）=△X■.从而（X+△X■）-■（X+△X■）■■=I.即X+△X■是Eq.（2）的正定解.再利用定理2可知■是Eq.（2）的唯一正定解.因此△X■=■-X，从而

‖■-X‖≤v■，■≤■.

参考文献：

[1]Andre C.M.Ran，M.C.B.Reurings.A nonlinear matrix equation connected to interpolation theory，Linear Algebra Appl[J].2004（379）：289-302.

[2]Sun J.G.Perturbation analysis of the matrix equation X=Q+A■（■）■A，Linear Algebra Appl[J].2003（372）：33-51.

[3]陈小山，黎稳.关于矩阵方程X+A*X■A=P的解及其扰动分析[J].计算数，2005（03）.

[4]李静，张玉海.矩阵方程X+A*X■A=Q的Hermite正定解及其扰动分析[J].计算数学，2008（02）.

[5]]Hasanov V.I.，Ivanov I.G.，Uhlig F.，Improved perturbation estimates for the matrix equations X±A*X■A=Q.Linear Algebra Appl[J].2004（379）：113-135.

基金项目：山东省高等学校科技计划项目（J13LI02）