一个平面向量数量积的简化公式

周斌

平面向量的数量积问题是多年来高考的热点，每年的各种高考模拟题、高考真题中都有此类似的题型.它们有一个共同的特征，就是题中涉及的两个平面向量直接求数量积一般比较困难，所以其求数量积的解法一般可以分为两种思路：一是利用平面向量的基本定理转化来优化计算；二是通过建立坐标系，用平面向量的坐标运算来解决.本文就针对求平面向量数量积的一类问题，提出自己的简化公式，寻求解决问题的捷径.

1.引例

本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化，它着重考查了平面向量的基本定理的应用，解题的策略就是对两个无直接关联的平面向量转化为其他平面向量，进而通过数量积运算得出结论.

若用向量转化或者坐标法，本题的解答过程都较为繁琐，利用以上公式解答本题时可以很好利用CD=2的特征，使原来求向量数量积的范围的问题转化为求线段OF距离的问题.

由以上应用可知，解答一类平面向量数量积的问题，可以利用本文提出的公式来简化向量的转化，事实上公式本质仍源于平面向量基本定理的转化.当然对于公式的发现探讨应更侧重于结论的发现和引申过程.特别是给学生介绍时，淡化其结论的记忆过程，使学生更加能独立地培养自己归纳、提炼、应用的能力.