巧谈数学中的对称性

王蓬

对称性在数学中总共包括四类：第一类是点关于点对称，第二类是点关于线对称， 第三类是线关于点对称， 第四类是线关于线对称.以上四类应用中，尤其前三种，在数学中应用十分广泛.

分析当有些同学刚刚看到这个问题的时候，一下子吓着了，因为里面的形式太复杂了，根号加根号，而且两个根号里面又都是二次函数，这个问题难了，可是如果我们换个角度去思考，问题也就迎刃而解了，我们可以对根号里的两个式子进行改写，考虑它们的几何意义.

点评本题的知识点综合性比较强，知识点有点关于直线的对称问题，求圆锥曲线的方程，而点关于直线的对称问题是重点.这就说明了对称问题可以渗透到数学中的许多方面.

上述讲了对称问题中的几种基本情况，其实对称问题还有其他应用，大家在学习椭圆的时候，椭圆中有一类题目就是对称问题，说的是“弦中点”，它的实质是点关于点对称，这里就用到了中点坐标公式.

点评上述解法思路清晰，过程容易让人接受与理解，是将直线方程与椭圆方程联立，最后得到大家所熟悉的一元二次方程，利用根与系数的关系以及中点坐标公式求出斜率.这种方法看似通俗易懂，但是里面的运算过程却是十分复杂，里面都是平方，而且项数也比较多，只要写错一项，可能全部都错了.那么有没有简单一点的解题方法呢？下面请大家看以下的解题思路.

点评这种方法大家看过之后，会觉得这种方法不光思路清晰，而且运算简单，在运算过程当中，几乎不需要算，要的也只是口算，这种方法是从弦端点出发，借助斜率问题，里面用到了对称：弦中点，即点关于点对称，最后巧妙地得到了直线m的斜率，这种方法我们称之为“点差法”，它跳过了将直线方程与椭圆方程联立这一繁琐过程.