浅析高等数学解题中辅助函数的建构

刘亚敏

【摘要】建构最恰当的辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究仍不失基本方法和一般规律，问题是如何加以归纳总结，本文根据高等数学各部分知识间的内在联系，以实例就建构辅助函数问题进行初步探究.

【关键词】辅助函数；建构方法

建构性解题思想及其方法是高等数学解题中一种重要的思想方法，笔者通过对辅助函数的基本特点及建构方法的阐述，想起到抛砖引玉之作用.

一、辅助函数的基本特点

1.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们所熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明.

2.同一个命题可建构多个辅助函数用于解题 .

3.表面上看建构辅助函数的思路较宽广，实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此，建构最恰当的辅助函数是解题的关键.

二、建构辅助函数的基本方法

1.联想分析：要建构一个与所证结果有关的辅助函数，而后再运用已知条件及有关概念，推理得出所要证明的结果，通常是先从一个愿望出发，联想起某种曾经用过的方法和手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者再从这些方法和手段出发，又去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直至达到我们能力所及的起点或把问题归结到一个明显成立的结论为止.因此，联想是我们构思辅助函数的阶梯.

联想方法多适用于不等式命题的证明和有关方程实数根的讨论.

总之，辅助函数的建构离不开分析、推理和联想，解题者只有把知识学得系统、深入、融会贯通，才能取得事半功倍之效果.恰当的构思，巧妙的假设，充分的推理论证是每个研习高等数学的人们所不可或缺的数学修养和素质.