换一种情景去思考问题

张景阳

摘 要：在数学学习的过程中，公式的记忆、运用，解题步骤的繁琐复杂，常让人绞尽脑汁，收获欠佳，学习兴趣锐减，前进的动力难以调动。如果能换一种情景去思考，看问题，也许会别有一番景致，生活增添更多的趣味。其实选择什么角度去看问题，是每一个人的自由，也是每一个人的智慧。但应该知道：看法决定想法，想法决定做法，而做法已决定了结果。改变看问题的情景角度，令你的思维插上腾空的翅膀，无论从思考的广度上还是深度上都会从中得到很大的提高，让人的思维更加异彩纷呈。

关键词：融合性；实践性；积极性

一、换一种情景去思考问题，可以使问题体现一般性，加强知识的融合性，增强知识的实践性

在学习排列新授课中有这样一个例题：求证：（1）Amn=mAm-1n-1（2）Amn+mAm-1n-1=Amn+1，大多数学生对于第一个问题还好，第二个问题用到分式的通分、排列公式的逆用，显得运算能力有点缺憾。

不妨设置这样一种情景：（1）在n个不同的小球中，其中含有1个红球和n-1个不同的白球，从这n个球中任选m个（m≤n）不同小球的所有排列？（2）有n个不同的白球和1个红球，从这n+1个球中任选m个（m≤n）不同小球的所有排列？可以让学生思考，能用计数原理解释这两个问题吗？由题可知共有m个不同的位置，先排红球，有m种，从剩余的n-1个中选m-1个的排列，即有m×Am-1n-1种排法，所以有Amn=mAm-1n-1；同样依据计数原理选出的m个小球，分两种情况分类讨论：（1）选出的m个小球不含红球情况，则从n个小球中选m个的排列，有Amn种。（2）选出的m个小球中含1红球的情况，红球有m种选法，从剩余的n-1中选m-1的排列，即有种m×Am-1n-1排法，由（1）（2）得Amn+mAm-1n-1=Amn+1。从上述可以看出，换一种情景思考问题，不仅使问题降低了认知难度，让学生易于接受，而且又增加了知识的连贯性与应用实践性，达到了异曲同工之妙。

二、换一种情景去思考问题，使得复杂的问题变简单，抽象的问题变具体

例1.有一个环形花坛，四周分A、B、C、D四个区域，有四种不同颜色的花，要求每个区域仅种一种颜色的花，相邻区域的两种花的颜色不能相同，问有多少种种法？

学生对这个问题接触不多，大多都是按照A、B、C、D四个区域的顺序，4×3×3×2=72种，结果是错误的.正确解释：（1）当A、C同色时，A、C有4种选择，B、D各有3种选择4×1×3×3=36；（2）当A、C不同色时，A有4种选择，B有3种选择，B、D各有2种选择，4×3×2×2=48.由（1）（2）得36+48=84种.针对上述问题，不妨设置这样一种情景：用1、2、3、4四种不同的颜色去涂A、B、C、D四个区域，要求一个区域只用一种颜色，相邻的区域两种颜色不能相同，问有多少种不同的涂法？学生在这样的环境下，本能的无意识的动手画一画，渐渐意识到会简单的枚举，水到渠成地会想到列树状图，通过列树状图得到1号颜色在A区域时共计21种涂法，依据等可能性原则2、3、4号颜色在A区域也各为21种，总计84种涂法。通过列树状图，不仅使抽象问题具体化、形象化；复杂的问题简单化，而且增加了无尽的童趣，进而增加了学生学习的自信心和前进的动力，注重了学生非智力因素的培养。

三、换一种情景去思考问题，可以使枯燥的问题变得生动形象，更富有趣味性，充分调动学生学习的积极性

例2.已知椭圆的方程为 + =1（a>b>0），M为椭圆上一点，

F1，F2为两个焦点，求满足下列条件的离心率e的范围？

（1）∠F1MF2最大角为锐角.（2）∠F1MF2最大角为钝角.

常规方法求解，首先判断出M的位置在y轴上，即M（0，b），使得∠F1MF2为最大角，后应用余弦定理，cos∠F1MF2<0，即a2+a2-4c2<0，2e2<1，解得00，即a2+a2-4c2<0，2e2>1，解得

不妨设置这样一种情景：以F1，F2为直径画圆，即以O为圆

心，以c为半径画若干个圆，观察∠F1MF2出现锐角，直角，钝角与这些圆的关系。很自然就知道：直径所对的圆周角是直角，顶点在圆外∠F1MF2是锐角，顶点在圆内∠F1MF2是钝角.通过作圆可以得到，∠F1MF2最大角为锐角，以F1，F2为直径的圆在椭圆的内部，即

2c<2b，两边平方得c22b，两边平方得c2>b2，2c2>a2，两边同除以a2，

四、换一种情景去思考问题，可以进一步加强类比联系，探究解决问题的方法规律，应用方法规律解决实际问题，提高灵活驾驭知识的能力

例3.已知设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，且

S12>0，S13<0，问前几项的和最大？

由题意得d<0，等差数列{an}是遞减的，又因S13= =13

a7<0，所以a7<0，同理S12= =6（a6+a7）>0，所以a6>0，故等差数列{an}的前6项和最大.

不妨设这样的情景：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，且S12>0，S13<0，问Sn取最大值时，n的值是多少？在这样的情境下，特别是出现“最大值”这样熟悉的字眼，让学生不禁联想到二次函数最值问题，进而想到数列{an}为等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn（A，B为常数），近似满足一元二次函数的性质.由题意得d<0，A<0，抛物线开口向下，Sn有最大值，又因为Sn=An2+Bn过原点，其中一根为n1=0，另一根n2∈（12，13），抛物线对称轴方程n= =m∈（6，6.5）.依据性质：抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴距离越近函数值就越大.因为n-m≤6-m（n∈N），所以当n=6时，Sn取得最大值。通过函数“最值”这一切入点导引，进一步加强函数思想在高中数学的贯穿，使函数思想进一步得到应用升华，体现的精彩纷呈。

换一种情景思考问题，不仅使问题轻松得以解决，增添了许多趣味，而且更进一步激发了学生求知的欲望，培养学生探索自然奥妙的上进心。情景的设置，让学生走出课堂走进实践，体验知识的真谛，加强理论与实践相结合，充分体现了知识来源于生活实践，同时又为实践生活服务。

（作者单位 山东省昌乐及第中学）

编辑 孙玲娟