数学思想方法在分段函数教学中的应用

陈九香

数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。数学思想方法是数学的灵魂和精髓，分段函数对于提高学生全面认识问题、探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要意义，对问题的解决有着显著的指引作用。就分段函数教学数学思想方法的应用进行了阐述。

数学思想方法分段函数分类讨论思想整体思想数形结合思想数学建模分段函数就其数学本质而言，就是指在同一问题背景下，当自变量的取值范围不同时，所对应的函数解析式也不同。分段函数在数学中不仅具有重要的理论价值，而且分段函数在实践活动中，具有广泛的应用价值，其作用在很多情况下是别的函数所不可替代的。从培养学生思维能力来说，分段函数思想对于提高学生全面认识问题、探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要意义，对问题的解决有着显著的指引作用。

一、数学思想方法概述

数学思想就是“人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。数学方法，是指人们从事数学活动的程序、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反映。所以说，数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系。数学思想和数学方法有区别也有联系，在解决数学问题时，总的指导思想是把问题化归为能解决的问题。一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。

二、数学思想方法在分段函数教学中的应用

分段函数问题能够较好地体现数学思想方法，是训练学生数学思维的良好载体，从培养学生思维能力来说，分段函数解题思想对于提高学生全面认识问题，探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要作用。

1.分类讨论思想在分段函数问题中的应用

分段函数在自变量的不同取值范围内所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。分段函数的最值问题中，需要用到分类讨论的思想，先逐段求出分段函数在各个独立区间上的最值，再总看整个函数的最值。分段函数是一个函数，然而在求解时需要将各段看成独立函数进行求解。一定要充分运用分类讨论的思想，对分段函数问题采用分段处理然后再综合的方法，先分后合将问题解决。有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性

2.整体性思想在分段函数问题中的应用

分段函数的概念非常简单，分类讨论也是水到渠成，但为什么分段函数是一个函数？对于学生来说理解起来可能会有些难度。若能从整体的高度，结合实例进行分析，则能起到事半功倍的效果。以北京市阶梯水价政策为例，分类讨论得出每户每月应交水费与用水量之间的函数关系是：，虽然这个函数是两个解析式，但表达的都是同一个问题，即每户每月应交水费与用水量之间的函数关系，只是用哪个公式计算得根据用水量而定。所以这是一个函数而不是多个函数。整体性思想与分类讨论思想进行有机的结合，学生便能很好的突破这一难点问题。

3.数形结合思想解决在分段函数问题中的应用

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的转化来解决问题的思想。在解决分段函数问题时，要求学生要会用“形”的结构和特征去理解“数”的特征，也要会用“数”的特征去理解“形”的结构和特征。当分段函数涉及函数零点，交点，函数性质等问题时，首先考虑数形结合方法，借助数形结合的思想，画出分段函数的图像，从图像中发现分段函数的特征，进而解决问题。

4.数学模型思想在分段函数中的应用

数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。数学建模是数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点。

三、教学过程

4.问题回归、方法小结（数学建模思想渗透）

5.学以致用，熟能生巧。

6.课堂小结，整体升华（略）。复习知识的同时，强调数学思想方法的应用。

参考文献：

[1]张玺.数学教学中加强思想方法教学的渗透[J].中学课程辅导·教学研究，2010，（15）.

[2]路红香.在函数教学中有效渗透数学思想方法的研究与实践[D].东北师范大学，2007.

[3]袁桂珍.关于数形结合的若干基本观点[J].广西师范大学学报，1998.

[4]郭刘龙.论数学思想方法的教育价值[J].教育理论与实践，2005.endprint

数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。数学思想方法是数学的灵魂和精髓，分段函数对于提高学生全面认识问题、探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要意义，对问题的解决有着显著的指引作用。就分段函数教学数学思想方法的应用进行了阐述。

数学思想方法分段函数分类讨论思想整体思想数形结合思想数学建模分段函数就其数学本质而言，就是指在同一问题背景下，当自变量的取值范围不同时，所对应的函数解析式也不同。分段函数在数学中不仅具有重要的理论价值，而且分段函数在实践活动中，具有广泛的应用价值，其作用在很多情况下是别的函数所不可替代的。从培养学生思维能力来说，分段函数思想对于提高学生全面认识问题、探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要意义，对问题的解决有着显著的指引作用。

一、数学思想方法概述

数学思想就是“人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。数学方法，是指人们从事数学活动的程序、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反映。所以说，数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系。数学思想和数学方法有区别也有联系，在解决数学问题时，总的指导思想是把问题化归为能解决的问题。一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。

二、数学思想方法在分段函数教学中的应用

分段函数问题能够较好地体现数学思想方法，是训练学生数学思维的良好载体，从培养学生思维能力来说，分段函数解题思想对于提高学生全面认识问题，探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要作用。

1.分类讨论思想在分段函数问题中的应用

分段函数在自变量的不同取值范围内所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。分段函数的最值问题中，需要用到分类讨论的思想，先逐段求出分段函数在各个独立区间上的最值，再总看整个函数的最值。分段函数是一个函数，然而在求解时需要将各段看成独立函数进行求解。一定要充分运用分类讨论的思想，对分段函数问题采用分段处理然后再综合的方法，先分后合将问题解决。有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性

2.整体性思想在分段函数问题中的应用

分段函数的概念非常简单，分类讨论也是水到渠成，但为什么分段函数是一个函数？对于学生来说理解起来可能会有些难度。若能从整体的高度，结合实例进行分析，则能起到事半功倍的效果。以北京市阶梯水价政策为例，分类讨论得出每户每月应交水费与用水量之间的函数关系是：，虽然这个函数是两个解析式，但表达的都是同一个问题，即每户每月应交水费与用水量之间的函数关系，只是用哪个公式计算得根据用水量而定。所以这是一个函数而不是多个函数。整体性思想与分类讨论思想进行有机的结合，学生便能很好的突破这一难点问题。

3.数形结合思想解决在分段函数问题中的应用

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的转化来解决问题的思想。在解决分段函数问题时，要求学生要会用“形”的结构和特征去理解“数”的特征，也要会用“数”的特征去理解“形”的结构和特征。当分段函数涉及函数零点，交点，函数性质等问题时，首先考虑数形结合方法，借助数形结合的思想，画出分段函数的图像，从图像中发现分段函数的特征，进而解决问题。

4.数学模型思想在分段函数中的应用

数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。数学建模是数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点。

三、教学过程

4.问题回归、方法小结（数学建模思想渗透）

5.学以致用，熟能生巧。

6.课堂小结，整体升华（略）。复习知识的同时，强调数学思想方法的应用。

参考文献：

[1]张玺.数学教学中加强思想方法教学的渗透[J].中学课程辅导·教学研究，2010，（15）.

[2]路红香.在函数教学中有效渗透数学思想方法的研究与实践[D].东北师范大学，2007.

[3]袁桂珍.关于数形结合的若干基本观点[J].广西师范大学学报，1998.

[4]郭刘龙.论数学思想方法的教育价值[J].教育理论与实践，2005.endprint

数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。数学思想方法是数学的灵魂和精髓，分段函数对于提高学生全面认识问题、探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要意义，对问题的解决有着显著的指引作用。就分段函数教学数学思想方法的应用进行了阐述。

数学思想方法分段函数分类讨论思想整体思想数形结合思想数学建模分段函数就其数学本质而言，就是指在同一问题背景下，当自变量的取值范围不同时，所对应的函数解析式也不同。分段函数在数学中不仅具有重要的理论价值，而且分段函数在实践活动中，具有广泛的应用价值，其作用在很多情况下是别的函数所不可替代的。从培养学生思维能力来说，分段函数思想对于提高学生全面认识问题、探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要意义，对问题的解决有着显著的指引作用。

一、数学思想方法概述

数学思想就是“人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。数学方法，是指人们从事数学活动的程序、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反映。所以说，数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系。数学思想和数学方法有区别也有联系，在解决数学问题时，总的指导思想是把问题化归为能解决的问题。一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。

二、数学思想方法在分段函数教学中的应用

分段函数问题能够较好地体现数学思想方法，是训练学生数学思维的良好载体，从培养学生思维能力来说，分段函数解题思想对于提高学生全面认识问题，探究问题的能力和根据特定背景进行合理分类讨论的思维方式有着重要作用。

1.分类讨论思想在分段函数问题中的应用

分段函数在自变量的不同取值范围内所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。分段函数的最值问题中，需要用到分类讨论的思想，先逐段求出分段函数在各个独立区间上的最值，再总看整个函数的最值。分段函数是一个函数，然而在求解时需要将各段看成独立函数进行求解。一定要充分运用分类讨论的思想，对分段函数问题采用分段处理然后再综合的方法，先分后合将问题解决。有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性

2.整体性思想在分段函数问题中的应用

分段函数的概念非常简单，分类讨论也是水到渠成，但为什么分段函数是一个函数？对于学生来说理解起来可能会有些难度。若能从整体的高度，结合实例进行分析，则能起到事半功倍的效果。以北京市阶梯水价政策为例，分类讨论得出每户每月应交水费与用水量之间的函数关系是：，虽然这个函数是两个解析式，但表达的都是同一个问题，即每户每月应交水费与用水量之间的函数关系，只是用哪个公式计算得根据用水量而定。所以这是一个函数而不是多个函数。整体性思想与分类讨论思想进行有机的结合，学生便能很好的突破这一难点问题。

3.数形结合思想解决在分段函数问题中的应用

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的转化来解决问题的思想。在解决分段函数问题时，要求学生要会用“形”的结构和特征去理解“数”的特征，也要会用“数”的特征去理解“形”的结构和特征。当分段函数涉及函数零点，交点，函数性质等问题时，首先考虑数形结合方法，借助数形结合的思想，画出分段函数的图像，从图像中发现分段函数的特征，进而解决问题。

4.数学模型思想在分段函数中的应用

数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。数学建模是数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点。

三、教学过程

4.问题回归、方法小结（数学建模思想渗透）

5.学以致用，熟能生巧。

6.课堂小结，整体升华（略）。复习知识的同时，强调数学思想方法的应用。

参考文献：

[1]张玺.数学教学中加强思想方法教学的渗透[J].中学课程辅导·教学研究，2010，（15）.

[2]路红香.在函数教学中有效渗透数学思想方法的研究与实践[D].东北师范大学，2007.

[3]袁桂珍.关于数形结合的若干基本观点[J].广西师范大学学报，1998.

[4]郭刘龙.论数学思想方法的教育价值[J].教育理论与实践，2005.endprint