重视《偏微分方程》课程

刘 倩

（武汉理工大学，湖北 武汉 430070）

1 《偏微分方程》课程的重要性和特点

在自然科学和实际工程问题中的大量数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚成立后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门学科中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为应用数学中的一个重要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。

2 《偏微分方程》在学习中的几个重点和方法

2.1 以学生为中心

对于这一点是站在教师教学的角度上提出的，现如今的课堂教学中，学生是学习中的主体，而教师是引导者。要达到以学生为中心的教学目的，就必须首先在教材额内容上做到以学生为中心，充分体现并满足学生对这门课程的需求。目前，教学内容与学生的专业特点结合的仍不够紧密，让学生感觉不到这门课程有很强的应用背景。结合《偏微分方程》这门课程的特点，需要在教材中适当融入一些有实际背景的案例。这样可以方便学生借鉴，缩小教材和实际的差距，达到服务学生的目的。对于这些有实际背景的问题，是比较容易理解甚至非常熟悉，如果有意识地引导学生从这些实际问题中提出各种各样的问题，让学生主动去寻求解决问题的途径，就能使学生把被动的学习方式转化为主动的学习方式。在这里，分组讨论共同一个问题或知识点，不失为一种有效的教学手段。

2.2 建立有效的学习方法

对于小组讨论的问题，要积极主动去查阅各种资料，先发现问题，然后解决问题。以自身为例，我们小组讨论的问题是推导弦振动方程。最先拿到教材上推导过程，基本上看不懂，然后就不得不翻阅其他参考书，才慢慢弄明白。弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上，然而，如果把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看做是一个质点，这样就可以应用质点力学的基本定律了。

2.3 选择合适的教学方法

要对我们学生进行启发和引导，把背景的提出与问题的解决相结合。在进行课堂教学时，以讲解式和启发式相结合采取类比法、提问题等教学法，引导我们学生从实际北京出发，建立相应的数学模型，在对模型的分析和掌握中自然地得到解决问题的方法。例如在我们讲解弦振动方程时，老师曾经让我们思考这样的问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的规律。首先建立直角坐标系，假设u（x，t）表示弦上各点在t时刻沿垂直于x方向的位移，弦上单位长度所受外力为F（x，t）。引导我们用所学的微积分的思想及相应的物理知识对此问题建模，可得：

其中ρ为弦的密度。模型建立后，老师给我们介绍这就是一维的波动方程。我们认识了一维波动方程后，老师再提出问题：类似的薄膜振动、声波的传播等可以用波动方程来描述吗？如果能，是什么样的波动方程？从而引出二维波动方程、三维波动方程，同时也给我们布置了新的小组讨论任务，促进我们主动学习。

注重课堂气氛的培养，与学生形成互动。在教学中，老师可以从相关资料上收集最新的学科信息，寻找一些与《偏微分方程》相关的实用性较强的题目，在课堂上引导我们积极思考，自由讨论解决问题，还可以在讨论之后提出新问题。这样既能激发我们学习的兴趣，又能使我们对课堂内容实践化，培养其解决实际问题的能力。

数学物理方程的讲授多采用传统的板演方式，这种方式，公式推导直观，学生容易理解；但由于推导过程长，我们往往容易迷失于密密麻麻的板书中。但如果全部用多媒体来进行教学的话，由于信息量大和过程跨度大，我们往往对公式的推导理解困难，也收不到良好的教学效果。鉴于此，以传统的教学方式为主，不时辅以多媒体教学。在重难点处仍然使用传统的板演，给我们更多思考的空间和时间，既突出了重点，又借助良好的互动使我们的理解更加透彻。

这样，通过运用现代教学技术，增加实践环节，培养了我们掌握知识和解决问题的能力，提高了我们的学习热情和兴趣，同时也创造了良好的学习氛围，最终收到很好的学习效果。

［1］汤燕斌,吴娥子.应用偏微分方程[M].北京：科学出版社,2010.

［2］谷超豪.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社,2002.

［3］梁昆淼.数学物理方法[M].4 版.北京：高等教育出版社,2010.

［4］陈军斌,等.创新教学方法提高研究生《数理方程与数值解》课程教学质量[J].2011(9)：33.

［5］林家翘,西格尔 LA.自然科学中确定性问题的应用数学[M].赵国英，等,译.北京：科学出版社,2010.