基于粒子群优化的斜测电离图反演研究

程 黎，杨东升

(中国电波传播研究所青岛分所，山东青岛 266071)

0 引言

粒子群优化(PSO，particle swarm optimization)最初由美国学者 Kennedy 和 Eberhart［1，2］提出，是继遗传算法、蚁群算法之后的又一新的群体智能算法，它是以模拟鸟群群体智能为特征，以求解连续变量优化问题为背景的优化算法。通常单个自然生物并不是智能的，但整个生物群体却表现出处理复杂问题的能力，群体智能就是这些团体行为在人工智能问题中的应用。PSO能够克服线性算法易陷入局部极值的缺点，同时又较其它非线性算法原理简单、易实现，在优化领域受到广泛关注，已应用于地球物理反演问题中。

在电离层探测技术中，迄今为止，斜向探测仍然具有重要意义。斜向探测能够获得描述收发两站之间电波传播群时延对频率关系的斜测电离图，其既包含了电离层垂直剖面信息又包含了收发两站之间水平剖面信息。借助高速的计算机，许多学者提出了电离图的反演算法［5，9］，但这些算法都是不稳定的，即使电离图数据读数有微小的误差，也会引起反演结果极大的变化。柳文［7］等人对斜测电离图反演的不稳定性进行了研究，提出了克服该问题的正则化方法，取得了一定的效果，但仍然面临正则参数选取困难等问题。

在忽略地磁场效应和电子碰撞的简单电离层模型下，基于粒子群优化算法对斜测电离图进行反演，获得收发站中点处电离层垂直剖面信息。

1 准抛物模型

电离层准抛物模型(QP模型)最早是由Voogt提出的，其表示为等离子频率分布，

式中，fp为等离子频率;fc为临界频率;rm为最大电子浓度对应的高度;rb电离层底部高度;ym=rm－rb为电离层半厚;Ne为r处的电子浓度，满足=80.6Ne;r表示相对地球球心的距离。

在QP模型下，电波传播的群路径P和电波落地点与发射点之间的地面距离D可以精确计算。Croft在文献［8］中给出了其解析解，表达为

层底部的入射角;β0为射线的初始仰角。

在QP模型中，只要知道fc、rb和rm，就可以算出任一高度的电子浓度。由于r=r0+h，其中h为相对于地面的高度，r0为地球半径，于是该问题可转化为求解fc、hb和hm，利用斜测电离图反演可得到这三个参数。

2 粒子群优化反演

2.1 粒子群优化算法原理

PSO算法是通过模拟鸟群觅食过程中的迁徙和群聚行为而提出的一种基于群体智能的全局随机搜索算法。其基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解。

PSO算法将每个个体视为D维搜索空间中的一个粒子，其在进化过程中维护两个向量，即速度和位置，其中i表示粒子编号，D是待求解问题的维数。粒子的速度决定了其运动的方向和速率，位置则体现了粒子所代表的解在解空间的位置，是评估解质量的基础。每个粒子维护自身的最优位置向量(用pi表示)，整个群体维护全局最优位置(用g表示)。通过对粒子设定评价函数，并根据每个粒子各自最优位置和群体最优位置不断更新其飞行速度和所在位置，参见式(4)和式(5)，最终到达或逼近目标位置。

式中，w为惯性权重;c1和c2为加速常数;r1和r2为两个在［01］范围内的随机数。式(4)和(5)中，i=1，2，…，M，M 为群体的粒子总数;粒子的最大速度为Vmax，最大迭代次数为Gmax。

PSO算法流程如图1所示。

图1 粒子群优化算法流程

2.2 基于粒子群优化的反演算法

利用PSO算法解决电离层反演问题则必须确定粒子群优化算法所关心的适应度函数、参数设置、搜索范围等问题。

适应度函数。QP模型参数反演时，要求计算值与观测值的均方误差尽可能小，因此可直接以均方误差作为粒子的适应度函数。

参数设置。QP模型参数反演最终确定三个参数fc、hb和hm。群体规模和加速因子采用文献［11］推荐的经验值，惯性因子采用线性递减权重策略。

搜索范围。根据先验知识确定每个参数的最大最小值，为了简化处理，通过线性变化把搜索区间变换到［－1，1］上，这样在算法实现时对各个参数可使用相同的搜索区间和相同的最大飞行速度。

终止原则。采用最大迭代停止和均方误差下界停止相结合的原则。当最大代数或者均方误差下界任一条件满足时，则终止迭代。

基于粒子群优化的电离层反演的流程，如图2所示。

图2 QP模型参数的粒子群优化算法反演的流程图

反演的方法为，在斜测电离图上选取K个频率点，对应的频率分别为 f1，f2，…，fK，群路径分别为P1，P2，…，PK。利用粒子群优化算法反演得到电离层参数 fc、rb和 ym，计算得到频率 f1，f2，…，fK对应的群路径为确定PSO算法适应度函数为计算值与观测值的均方误差，即式(6)，

反演过程如下。

(1)设定电离层参数fc、hb和hm初始范围，初始化粒子的位置和速度;

(2)根据粒子的位置，即电离层参数，计算不同频率对应的群路径，然后利用式(6)计算各个粒子的适应值;

(3)对于每个粒子，将其适应值与其所经过的最好位置的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前粒子的最好位置pbest;

(4)对于每个粒子，将其适应值与全局所经过的最好位置的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前全局的最好位置gbest;

(5)由式(4)和(5)对当前粒子的速度和位置进行优化;

(6)重复(2)～(5)，直到适应值满足一定精度或者达到预设的最大迭代次数。

2.3 粒子群优化反演与线性反演的比较

根据式(3)可知，频率和仰角固定时群路径可描述为P'=P'(fc，rb，rm)。通过 Taylor展开进行线性化处理，得到如下近似表达式。

这种线性或者拟线性反演，通过不断迭代完成对预设初始参数的修正，直到群路径误差满足一定条件时停止迭代。但是当矩阵A条件数很大时，很小的群路径偏差就可能导致解的偏差比较大，当参数初值设置不合理时也可能导致解的不收敛。通常会引入正则化方法解决求解中的不稳定形问题，其基本思路是通过构造正则算子(连续算子)替换原来的算子，从而将不适定问题转换为适定问题，得到一个原问题的近似解。正则化的过程关键在于选择正则算子，如果算子不适当一方面可能再次导致解不稳定，另一方面可能导致近似解精度下降。

粒子群算法相比线性反演，不需要对原问题进行离散近似，可以直接全局寻优。对参数初值要求较低，只需指定参数范围即可。另外选择均方误差作为适应度，以最大迭代停止和均方误差下界停止为终止原则保证了解的收敛性。

3 反演实例

3.1 合成斜测电离图

假设准抛物模型电离层参数为fc=6 MHz，hb=200 km和hm=300 km。斜向探测收发两站的地面距离为1000 km。合成的斜测电离图，如图3所示。分别采用粒子群优化和线性方法［7］进行反演。

图3 合成斜测电离图

3.2 观测数据无误差的情况

在合成的斜测电离图上选取频点数据f:4、8.5和9.5 MHz，利用仅包含舍入误差的合成数据作为反演输入数据。粒子群优化算法反演的结果为fc=6.00 MHz，hb=199.97 km，hm=300.16 km，反演结果非常接近假定参数值。线性法反演结果为fc=6.00 MHz，hb=200.15 km，hm=300.06 km，也与假定值非常接近，但是临界频率初值偏差超过1 MHz或者底高初值偏差超过20 km时，反演则不收敛。

3.3 观测数据有误差的情况

进一步考虑探测数据存在误差的情况，对合成的数据引入满足均值0 km，方差5 km的随机误差来模拟“实测数据”(共计10次)，基于粒子群优化算法反演的结果见表1。

表1 存在误差的反演结果

线性方法进行反演时，采用不同的参数初值反演10 次，得到结果:fc均值6.17、标准差1.0353，hb均值202.79、标准差12.1364，hm均值310.02、标准差43.3272。

对比发现，线性反演的优点是计算速度快，如果选取的初值比较理想其结果也比较好，但是缺点也很明显，对参数初值要求苛刻，误差增大时，反演极不稳定，甚至无法迭代。而基于粒子群优化的反演算法，表现出了较好的收敛性，即便存在一定误差时，反演结果基本稳定，结果也比较合理。此外，如果能够充分利用先验信息缩小搜索范围，可以进一步提高反演的准确性和稳定性。

4 结语

在电离层QP模型下，忽略地磁场效应及电子碰撞，根据斜向探测获得的电离图数据，基于粒子群优化算法反演获得了电离层QP模型参数。结果证明，相对于线性方法求解，该方法有较好的精度和稳定性，相对于正则化方法的参数选取的难度，该方法具有参数选取较为简单的特点，具有良好的应用价值。

需要指出，由于信息的不充分和观测数据中含有误差，使多解性成了反演的固有问题，粒子群优化算法不能解决该问题［11］。粒子群优化算法中的粒子数目、搜索范围、惯性权重、学习因子等参数的设置对反演效率和结果也有一定的影响，因此该算法中的参数设置应该建立在理论和经验结合的基础上。

［1］ EBERHART R，KENNEDY J.A New Optimizer Using Particle Swarm Theory［C］//IEEE.Proceedings of the sixth International Symposium on Micro Machine and Human Science.Piscataway:IEEE Service Center，1995，39-43.

［2］ KENNEDY J，EBERHART R.Perth Particle Swarm Optimization［C］//IEEE.Proceedings IEEE International Conference on Neural Network.Piscataway:IEEE Service Center，1995.1942-1948.

［3］ 杨东升，焦培南，程延锋，等.基于返回散射和斜测电离图联合反演电离层参数［J］.中国电子科学研究院学报，2010，5(5):503-507.

［4］ 谢树果.斜向返回散射探测电离层参数反演方法研究［D］.武汉:武汉大学，2001.

［5］ N NARAYANA RAO.Inversion of Sweep-Frequency Skywave Backscatter Leading Edge for Quasiparabolic Layer Parameters［J］.Radio Science，1974，9(10):845-847.

［6］ R E DUBRUFF，N RAO，K C YEH.Backscatter Inversion in Spherically Asymmetric Ionosphere［J］.Radio Science，1979，14(5):837-841.

［7］ 柳文，焦培南，王俊江.斜测电离图反演及其不稳定性研究［J］ .电波科学学报，2003，18(6):597-601.

［8］ THOMAS A CROFT.Exact Ray Calculations in a Quasi-Parabolic Ionosphere With No Magnetic Field［J］.Radio Science，1968，3(1):69-74.

［9］ CHUANG S L，YEH K C.A Method for inverting Oblique Sounding Data In The Ionosphere［J］.Radio Sci.，1977，12(1):135-140.

［10］ NORMAN R J.Backscatter Ionogram Inversion［C］//Proceedings of the international conference radar，2003，368-374.

［11］ 梁艳春，吴春国，等.群智能优化算法理论与应用［M］.北京:科学出版社，2009.

［12］ 王彦飞.反演问题的计算方法及其应用［M］.北京:高等教育出版社，2007.