层层递进，彰显数学课堂魅力

常云波

【分类号】：G4

案例背景：

导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以一道大题的形式出现，并且有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。纵观近年各地的高考题，对于本专题常见的考点可分为八个方面，一是导数的几何意义的应用，二是导数运算和解不等式相联系，三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极值，五是利用导数研究函数的最值，六是利用导数研究不等式的综合问题，七是利用导数研究实际应用问题的最优化问题，八是微积分的应用。同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习，更能让学生真真切切地感受到数学的“魅力”。

此种情况下，我很快鼓励学生说：“同学们，你们都很聪明，有想法就有好开始，不妨咱们先试着从熟悉的问题入手---画图像。”

评析：这一问题的关键在于教师的正确引导与适当的点拨，从复杂的问题中寻求简单的、已会的知识，从而激发学生思维。在函数的解答题中有一类基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式（实际上就是证明这个不等式）的问题，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决.使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况。

评析：本题突出了我们利用导数解决不等式问题的一般方法步骤，在构造一个函数不能让问题得以解决时，就可以巧妙地分解成我们熟悉的两个函数来解决，这当然离不开函数的单调性、极值、最值等问题。另外数学课的主要活动除了知识的传授外，还有学生的思维活动，这就需要我们所做的一切活动都为激发学生的有价值的思维活动服务。学生不仅是教学的对象，更是教育的资源，为此我们在上课时，应经常捕捉学生的质疑，发掘其背后蕴藏着的思维障碍，引导学生思考和探究，逐渐进入角色，他们只有把每一个困惑解决了，才能彰显出数学的魅力。

教后反思：

在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题.因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具 .因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点.本节课从头到尾感受了数学建模的过程，体现数学结论和规律的发生发展过程，从而让学生感受到学习数学的兴趣和取得成功的快乐体验。教师在教学过程中只是引导者，组织者，学生能分析的，教师就放手，绝不抢先，教师引导学生真正体会数学层层递进的内在美，在潜移默化中培养学生的创造力。鼓励每一位学生积极参与教学活动，使学生在活动中不断进步，这不正是我们新课改的初衷和要求吗？

通过本节课我深深体会到：

1.理想的数学课堂既有助于学生成长，又有益于教师提升教学生命。这种课堂在不断提出问题、解决问题层层递进的基础上达到了最佳效果。

2.在数学课堂中，我们又怎样才能有效地提高学生分析和解决问题的能力呢？这是我们值得深思的地方，正如新课标所倡导的：学生的学习活动不应该只限于简单的接受、记忆、模仿和练习，更应该是发挥学生学习主动性的学习方式。

3.本节课的不足之处是：在片段三中，由于时间没把握合适，引导学生处理函数时，教师几乎是直接给出思路，如能再给点时间让学生试试，会更好。

总之，数学课堂在教师与学生的共同经营下，尽可能开启学生的主体智慧，激活学生原有的知识结构，唤醒学生的开拓应用意识，层层递进，才能真正彰显数学课堂的魅力。endprint

【分类号】：G4

案例背景：

导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以一道大题的形式出现，并且有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。纵观近年各地的高考题，对于本专题常见的考点可分为八个方面，一是导数的几何意义的应用，二是导数运算和解不等式相联系，三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极值，五是利用导数研究函数的最值，六是利用导数研究不等式的综合问题，七是利用导数研究实际应用问题的最优化问题，八是微积分的应用。同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习，更能让学生真真切切地感受到数学的“魅力”。

此种情况下，我很快鼓励学生说：“同学们，你们都很聪明，有想法就有好开始，不妨咱们先试着从熟悉的问题入手---画图像。”

评析：这一问题的关键在于教师的正确引导与适当的点拨，从复杂的问题中寻求简单的、已会的知识，从而激发学生思维。在函数的解答题中有一类基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式（实际上就是证明这个不等式）的问题，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决.使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况。

评析：本题突出了我们利用导数解决不等式问题的一般方法步骤，在构造一个函数不能让问题得以解决时，就可以巧妙地分解成我们熟悉的两个函数来解决，这当然离不开函数的单调性、极值、最值等问题。另外数学课的主要活动除了知识的传授外，还有学生的思维活动，这就需要我们所做的一切活动都为激发学生的有价值的思维活动服务。学生不仅是教学的对象，更是教育的资源，为此我们在上课时，应经常捕捉学生的质疑，发掘其背后蕴藏着的思维障碍，引导学生思考和探究，逐渐进入角色，他们只有把每一个困惑解决了，才能彰显出数学的魅力。

教后反思：

在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题.因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具 .因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点.本节课从头到尾感受了数学建模的过程，体现数学结论和规律的发生发展过程，从而让学生感受到学习数学的兴趣和取得成功的快乐体验。教师在教学过程中只是引导者，组织者，学生能分析的，教师就放手，绝不抢先，教师引导学生真正体会数学层层递进的内在美，在潜移默化中培养学生的创造力。鼓励每一位学生积极参与教学活动，使学生在活动中不断进步，这不正是我们新课改的初衷和要求吗？

通过本节课我深深体会到：

1.理想的数学课堂既有助于学生成长，又有益于教师提升教学生命。这种课堂在不断提出问题、解决问题层层递进的基础上达到了最佳效果。

2.在数学课堂中，我们又怎样才能有效地提高学生分析和解决问题的能力呢？这是我们值得深思的地方，正如新课标所倡导的：学生的学习活动不应该只限于简单的接受、记忆、模仿和练习，更应该是发挥学生学习主动性的学习方式。

3.本节课的不足之处是：在片段三中，由于时间没把握合适，引导学生处理函数时，教师几乎是直接给出思路，如能再给点时间让学生试试，会更好。

总之，数学课堂在教师与学生的共同经营下，尽可能开启学生的主体智慧，激活学生原有的知识结构，唤醒学生的开拓应用意识，层层递进，才能真正彰显数学课堂的魅力。endprint

【分类号】：G4

案例背景：

导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以一道大题的形式出现，并且有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。纵观近年各地的高考题，对于本专题常见的考点可分为八个方面，一是导数的几何意义的应用，二是导数运算和解不等式相联系，三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极值，五是利用导数研究函数的最值，六是利用导数研究不等式的综合问题，七是利用导数研究实际应用问题的最优化问题，八是微积分的应用。同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习，更能让学生真真切切地感受到数学的“魅力”。

此种情况下，我很快鼓励学生说：“同学们，你们都很聪明，有想法就有好开始，不妨咱们先试着从熟悉的问题入手---画图像。”

评析：这一问题的关键在于教师的正确引导与适当的点拨，从复杂的问题中寻求简单的、已会的知识，从而激发学生思维。在函数的解答题中有一类基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式（实际上就是证明这个不等式）的问题，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决.使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况。

评析：本题突出了我们利用导数解决不等式问题的一般方法步骤，在构造一个函数不能让问题得以解决时，就可以巧妙地分解成我们熟悉的两个函数来解决，这当然离不开函数的单调性、极值、最值等问题。另外数学课的主要活动除了知识的传授外，还有学生的思维活动，这就需要我们所做的一切活动都为激发学生的有价值的思维活动服务。学生不仅是教学的对象，更是教育的资源，为此我们在上课时，应经常捕捉学生的质疑，发掘其背后蕴藏着的思维障碍，引导学生思考和探究，逐渐进入角色，他们只有把每一个困惑解决了，才能彰显出数学的魅力。

教后反思：

在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题.因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具 .因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点.本节课从头到尾感受了数学建模的过程，体现数学结论和规律的发生发展过程，从而让学生感受到学习数学的兴趣和取得成功的快乐体验。教师在教学过程中只是引导者，组织者，学生能分析的，教师就放手，绝不抢先，教师引导学生真正体会数学层层递进的内在美，在潜移默化中培养学生的创造力。鼓励每一位学生积极参与教学活动，使学生在活动中不断进步，这不正是我们新课改的初衷和要求吗？

通过本节课我深深体会到：

1.理想的数学课堂既有助于学生成长，又有益于教师提升教学生命。这种课堂在不断提出问题、解决问题层层递进的基础上达到了最佳效果。

2.在数学课堂中，我们又怎样才能有效地提高学生分析和解决问题的能力呢？这是我们值得深思的地方，正如新课标所倡导的：学生的学习活动不应该只限于简单的接受、记忆、模仿和练习，更应该是发挥学生学习主动性的学习方式。

3.本节课的不足之处是：在片段三中，由于时间没把握合适，引导学生处理函数时，教师几乎是直接给出思路，如能再给点时间让学生试试，会更好。

总之，数学课堂在教师与学生的共同经营下，尽可能开启学生的主体智慧，激活学生原有的知识结构，唤醒学生的开拓应用意识，层层递进，才能真正彰显数学课堂的魅力。endprint