课例：“二分法求方程的近似解”的问题式教学设计

张丽丽

一、教学内容分析

二分法求方程的近似解是在学习了函数的零点与方程的根的之后，以连续函数的零点存在性定理为依据，打开了求解方程的新思路，体现了方程和函数之间的联系，它引入了程序化解决问题的方法，体现了现代课改精神又根植了传统算法，为必修三算法内容作了铺垫.它包含了函数与方程思想、数形结合思想、极限思想和算法思想等，真实地让学生在学习中感受“整体→局部”“定性→定量”“精确→近似”“计算→技术”“技法→算法”这些数学思想发展

的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育价值.

二、教学目标的确定

根据教材特点，新课标的教学要求和学生的认知水平，确定如下教学目标：

1.理解二分法的概念，掌握运用二分法求方程的近似解；

2.体会逼近过程，了解极限思想，感受精确与近似的相对统一；

3.通过合作探究，培养从特殊到一般的归纳能力，增强对数学学习的信心.

三、教学方法的特点

本节课采用问题启发式与探究式相结合，以学生活动为主：

1.注意以问题引导学习，形成认知冲突，激发求知欲.通过“追问”等方式使学生的心理倾向保持适度的状态.

2.采取有步骤设置思维障碍等方法，铺设恰当的认知阶梯，呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务.

3.使用“反馈—调节”机制：通过教学反馈，及时调整设问方式，增加提示信息或进一步设置障碍调整学习任务难度.

4.活动的设计注意到两个“还原”：

（1）还原思维的原发现过程

知识结构的建立，解题思路的探索，数学思想方法的概括过程.

（2）还原学生的思维过程

构建从具体到抽象，从特殊到一般的思维通道，通过设问引导使学生在课堂有高度的思维参与，经历实质性的数学思维过程.

四、教学诊断分析

学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：

1.本节内容对计算能力要求较高，在缩小区间逐步逼近零点的过程中易计算错误而出现急躁情绪，设计了用线段了展示区间的缩小过程，放弃计算出区间端点的函数值而是选择在线段相应位置标示正负来判别零点所在的区间化繁为简，用线段贯穿始终，突破难点.

2.对“精确度”要求的理解教师诠释精确度的含义后，学生很容易熟悉的“精确到0.1”混淆.特别注意介绍“精确度”和“精确到”的差别.“精确度”是衡量近似值与精确值的接近程度，概念较为抽象引导他们通过观察线段长度来判断精确度是否达到要求，直观易掌握.

五、教学过程分析

1.情境引入

提问：请同学们在（0，1000）的范围内猜出水晶小熊的价格.

学生活动：学生很感兴趣，纷纷踊跃发言.学生发现直观体会到每一个随机的猜测都会使价格区间得到缩小越来越逼近实际

价格.

教学评价：我选用了一个颇有争议的情境，对它进行了修改，将它和线段巧妙地结合，将“高”“低”与判断零点所在区间的“正”“负”对应起来，更直观演示逼近的过程和二分法的本质.

2.猜想探究

求函数f（x）=x3+x2-2x-2零点在区间（1，2）上的近似值.（精确度为0.3）

操作：“近似值”和“精确度”两个词让学生眼前一亮.诠释精确度的概念，引导学生通过观察区间长度判断是否达到精确度的要求.“精确度”规定达到要求的“范围”，“精确到”规定达到要求的“位置”.

学生活动：老师诠释后，学生观察发现（1，1.5）区间长度0.5>

0.3，不符合要求，（1.25，1.5）长度为0.25达到要求，从而找出1.25或者1.5.

教学评价：当零点精确值复杂或求不出精确值时，我们没有必要一直重复运算，只需求出零点近似值即可，这里体现了数学运算的另一侧重点：估算.用数形结合的方法使学生更直观地体会精确度的作用，突破难点.

3.合作完善

师：请小组总结用二分法求函数零点近似值的步骤.

学生活动：（1）定区间；（2）取区间中点；（3）计算区间中点值；（4）观察中点对应函数值.如果此函数值为0，则中点就是函数的零点，运算停止如果中点对应函数值不为0，则选择新区间；（5）如果新区间长度小于精确度，则将区间端点之一作为近似值；如果新区间长度不小于精确度，则重复1-4.

教学评价：这个活动以小组讨论的形式呈现，培养学生从特殊到一般的化归能力并渗透算法思想.

4.学以致用

师：用二分法求方程x3+3x-7=0在区间（0，1）的近似解（精确度0.1）.

学生活动：学生利用上节课函数的零点与方程的解的联系，可以想到通过构造函数来求出函数零点近似值来实现.

教学评价：使学生体会到二分法也可以用于求方程的近似解，体现方程与函数的联系，并进一步熟悉“二分法”步骤.

思考：用二分法求方程x3+3x-7=0的近似解（精确度为0.1）.

师：这个问题和上面老师所提问题有什么不同呢？

生：学生回答没有给定解的初始区间.

师：上节课我们也遇到过类似的问题，那如何解决这个问题呢？

生：借助图象来判断.

师：如何作图呢？

生：描点法画出函数f（x）=x3+3x-7的图象，寻找函数与x轴交点横坐标范围.

师：还有没有别的办法？这个陌生的函数里有没有我们熟悉的函数？

生：方程写成x3=-3x+7的形式，构造函数g（x）=x3，h（x）=-3x+7，通过寻找函数交点横坐标的范围来实现.

教学评价：让学生养成及时总结的习惯，进行自我反馈，培养数学交流和表达的能力.

整个教学过程，通过老师不断追问，促使学生对问题的深入思考，不仅能使用常用的办法解决问题，还能在已有的知识体系上进行新的建构，培养学生的思维发散能力.让学生在自主学习、探究活动中，变“被动接受”为“主动创造”，主动建构知识丰富的学习方式、改进学习方法，使学生学会学习，体验数学发现与创造的历程，提高学生独立获取知识的能力.

编辑 王团兰