古塔的变形情况及趋势研究

王飞 WANG Fei；章茜 ZHANG Qian

（浙江机电职业技术学院，杭州 310018）

（Zhejiang Institute of Mechanica1&E1ectrica1 Enginnering，Hangzhou 310018，China）

0 引言

目前现存数量不多的古塔是一种古代高层建筑，标志着古代人们征服自然的胜利。它们无论对于研究我国古代建筑技术的发展，还是研究我国古老的历史、文化、艺术、宗教以及政治、外交及经济等均具有极其重要的意义。为了对现存的古塔进行科学合理地保护，就必须掌握并研究古塔的变形情况。

本文研究的题目及数据均源自2013年全国大学生数学建模竞赛C题，数据（见附表）来源于四个年份的对古塔每一层的观测数据。通过题目分析，通过将问题转化，利用初等数学模型对古塔的倾斜程度、弯曲程度及扭曲程度进行研究，同时采用灰色预测模型GM（1，1）分别对古塔进行倾斜程度、弯曲程度、扭曲程度的预测分析，为古塔的修复工作提供了一定的参考依据。

1 问题分析

根据题目，需要建立数学模型，解决如下几个问题：①给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。②分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。③分析该古塔变形趋势。

由于每一层各观测点的竖坐标变化不大，则取其平均值作为中心位置的竖坐标。对于横、纵坐标，我们将同层各点投影到x0y平面内，发现图像近似于一个椭圆，通过基于最小二乘法的拟合求得相关的椭圆方程，则椭圆的中心便是所求的中心位置。利用古塔各层的中心位置，通过投影法，引进倾斜角、两线段夹角可以研究古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。最后结合问题1、问题2的结论，建立数学模型，分析古塔的变形趋势。

2 模型建立及求解

2.1 数据预处理 根据题目附表中所给出的数据，发现四个年份每一层的观测数据大部分都是8组，但是1986年与1996年中第13层的观测数据只有7组，将上下两层的数据取平均值当做缺失的观测数据，2009年与2011年的塔尖观测数据只有一组，就取这一组作为塔尖观测数据。

2.2 确定古塔各层中心位置 由前面的问题分析，中心位置的竖坐标由每一层各观测点的竖坐标的平均值来确定，而中心位置的横、纵坐标通过基于最小二乘法的椭圆拟合算法结合MATLAB软件实现。

2.3 古塔变形情况分析

2.3.1 倾斜情况分析 为了分析古塔的倾斜程度，把古塔的第一层视为塔底，连接第一层中心与塔尖的中心，并过塔尖的中心作第一层的垂线，连接射影构成直角三角形，则垂线和两中心连线的夹角即为古塔的倾斜角，利用该角可分析古塔的倾斜程度。利用射影和垂线的比值，再求这个比值的反正切值就是倾斜角的值，表1是各观测年份的倾斜角w的值。

表1 倾斜角的w值（弧度制）

由表1看到古塔在观测的4年内均有倾斜，且随着年份的增加，有变大的趋势。

2.3.2 弯曲情况分析 弯曲的产生实际上是由各层之间的倾斜角的不同造成的，分析该古塔的弯曲程度，先计算古塔各层的倾斜角，再利用各层之间的倾斜角的差值情况来考虑。利用MATLAB软件计算古塔各层的倾斜角度，具体见表2。

根据表2可得1986年-1996年的古塔的弯曲变形情况差不多，且2009年-2011年的弯曲变形情况差不多，但是1996年-2009年的弯曲变形相对较大，古塔的2-5层、11-12层及顶层的弯曲度程变小趋势，6-10层、13层的弯曲度程变大趋势，其中古塔的中间层，即第7层变化最小。

表2 古塔4年每层的倾斜角度（弧度制）

同时可根据Δk=ki+1-ki（ki为古塔第i层的斜率）来计算每两层的倾斜角的变化情况，发现古塔3-4层，4-5层，7-8层，9-10层，10-11层，12-13层这几组的数据，前两年和后两年的正负性发生了改变，说明这几层的弯曲程度变化趋势并不是稳定的，期间可能受地震、飓风等自然灾害的影响。

2.3.3 扭曲情况分析 扭曲是指不同水平面之间的相对旋转，先分别将古塔相邻两层中心进行连线，将这些连线都投影到第一层所在的平面，以前两层的中心连线的投影作为参照物，若后两层中心连线的投影与之形成一定的角度，则可说明古塔发生扭曲现象。

由直线上两点的斜率公式，先求得古塔相邻两层的中心连线的斜率Kj。再根据所求斜率运用MATLAB软件计算出后两层中心连线的投影到前两层中心连线的投影的角的正切值，最后利用正切值求得相应的角度，以弧度制表示，结果如表3。

表3 古塔4年各层的扭曲角度（弧度制）

由表3可知，古塔各层扭曲程度基本随着年数的增加呈变大趋势，第11层、13层及塔尖除外。同时用扭曲角度的正负表示古塔的扭曲方向，正的表示逆时针方向扭曲，负的表示顺时针方向扭曲，发现古塔的同一层在不同的年份（如第8层、第10层、第11层）扭曲方向发生变化。

另外，观察古塔底层的中心Z轴坐标，发现值不断变小，也就是古塔随着时间的推移慢慢往地下沉。

2.4 古塔变化趋势预测 对该塔的变形趋势进行预测，主要从倾斜、弯曲、扭曲这三个方面进行考虑，由于只有四年，数据非常少，且变化趋势也不明显，难以单纯的从拟合的角度进行发展趋势的预测，而灰色模型系统可以解决这类问题，因此，利用灰色系统模型GM（1，1）的方法来研究相应问题。

2.4.1 倾斜程度变化趋势预测

利用灰色模型GM（1，1）进行建模预测。

①原始数据序列：

②进行一次累加序列：

③建立矩阵B,Y：

④根据(BTB)-1BTy估计：

⑤求得时间响应方程：

⑥若要拟合已知值或计算预报值，则可用后减运算（即后一项减去前一项）还原求得。

⑦利用灰色系统理论建模软件计算求得残差=0.00000000及平均相对误差=0.42714470%，说明该预测模型的拟合预测情况较好。

2.4.2 弯曲程度的趋势预测 同理，利用灰色系统理论建模软件对古塔各层的弯曲程度预测模型进行检验，如表4。

表4 弯曲趋势预测模型检验

由表4说明该模型的拟合预测情况也较好。

2.4.3 扭曲程度的趋势预测 同理，利用灰色系统理论建模软件对古塔各层的扭曲程度预测模型进行检验，如表5。

表5 扭曲趋势预测模型检验

由表5说明第7层，第10层及塔尖的扭曲程度预测模型的拟合、预测情况不是太理想，其余的情况较好。

3 模型评价及改进

3.1 模型优缺点

本模型的优点：

①对于古塔倾斜程度、弯曲程度及扭曲程度的研究，将问题转化，变成可以利用初等数学的思想进行建立相关的数学模型，简洁明了；

②根据题目给的数据的特点，利用灰色预测模型GM（1，1），得到相应的时间响应函数，同时利用灰色系统理论建模软件对所建立的模型进行残差分析，得出模型的适用性，具有一定的可信度该方法还可推广到引起古塔产生变形的其他因素的研究；

③本模型可用于诸如上海明珠电视塔等刚性高层建筑物的变形情况研究。

本模型的缺点：

①对附表中一小部分残缺数据进行人为处理，会产生一些误差。

②在假设中假设第一层是水平面所得到的数据存在一定的误差。

③在研究倾斜程度、弯曲程度及扭曲程度的过程中未考虑古塔各中心的竖坐标分量，存在一定的误差。

3.2 模型改进

在模型上存在个别数据残差较大的情况，还应尽可能采用多种方法进行拟合，而不是单一方法，以提高精确性。

综上所述，本文通过问题转化，建立初等数学模型研究古塔的倾斜程度、弯曲程度及扭曲程度，通过建立灰色预测模型GM（1，1）研究古塔的变形趋势。它能从数学意义上描述古塔各层的中心位置与三个引起古塔变形因素之间的关系，并且比较直观，为研究古塔的变形情况的工作者提供的一种方法。建模过程中使用了MATLAB等数学软件，利用数学软件作为学习平台，能够有效培养学生的数学建模能力，提高高职数学的教学效率。

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