数字梯度敏感法在静态断裂力学实验中的应用

俞 海，郭荣鑫*，夏海廷，颜 峰，张玉波，何天淳

（1.昆明理工大学工程力学系云南省先进材料力学行为与微观结构设计高校重点实验室，昆明650500；2.云南大学，昆明650500）

数字梯度敏感法在静态断裂力学实验中的应用

俞 海1，郭荣鑫1*，夏海廷1，颜 峰1，张玉波1，何天淳2

（1.昆明理工大学工程力学系云南省先进材料力学行为与微观结构设计高校重点实验室，昆明650500；2.云南大学，昆明650500）

为了研究断裂力学问题中裂纹尖端区域的局部变形场和断裂特性，采用数字梯度敏感法对带有中心贯穿裂纹的有机玻璃有限宽板条进行了静态实验研究。实验过程中通过CCD记录裂纹尖端区域不同应力状态下的散斑图，对记录的散斑图进行相关运算，得到了不同应力状态下裂纹尖端周围区域内的光线偏转角，并通过偏转角对Ⅰ型裂纹的应力强度因子进行了提取。结果表明，通过数字梯度敏感方法计算得到的应力强度因子与理论值吻合相对较好。

图像处理；断裂力学；数字梯度敏感；数字图像相关；偏转角；应力强度因子

引 言

数字梯度敏感［1-2］（digital gradient sensing，DGS）法是基于数字图像相关（digital image correlation method，DIC）法［3-6］的一种非接触、全场光学测量技术，其原理是根据应力导致光线的偏转使透明材料表现出的弹光效应来建立面内应力梯度与光线微小偏转量之间的关系，偏转角可以利用数字图像相关方法来获取。因为此方法对面内应力梯度敏感，因此，利用它可以对平面应力状态下的断裂等应力集中问题进行研究。在对断裂问题的研究中，全场测量方法还包括：光弹性法、云纹干涉法、焦散线以及相干敏感梯度法。这些方法由于对所采用的光源要求较高以及对材料的有所限制，而且需要对试样表面进行大量处理等复杂的工序，因此其适用范围受到很大限制。而数字梯度敏感基于数字图像相关方法，因此它对环境要求低、光路简单，而且具有可以实时、全场测量的特点故受到相关学者的重视。PERIASAMY用此方法研究了静态和动态荷载下局部应力集中区域应力梯度的分布［7］。本文中基于此方法对有机玻璃（polymethyl methacrylate，PMMA）有限宽板条的中心贯穿裂纹进行了静态实验研究，得到了裂纹尖端周围区域应力梯度场的分布图，并对应力强度因子KⅠ进行了测量，获得了与理论值吻合相对较好的结果。

1 基本原理

1.1 DGS方法原理

如图1所示，用（x，y），（x0，y0）分别表示试件和目标板面内笛卡尔坐标系，CCD光轴与z轴一致，L是CCD与试件中的距离。在参考状态下（试件不受荷载），试件的厚度和折射率分别为B和n，目标板面上P点的信息通过试件上O点被CCD所记录。在变形状态下（试件受荷载），由于应力改变导致试件折射率的改变和泊松效应导致试件厚度的改变，使P点附近Q点的信息通过试件上O点被CCD所记录。在此过程中，光路由参考状态下的OP变为变形状态下的OQ，因此，通过确定PQ和Δ（试件中平面与散斑板的距离）便可计算得到OQ相对于光轴的偏转角φx和φy。

以O为原点，→i，→j和→k分别为笛卡尔坐标系下的单位方向向量，试件未变形时，→k与光轴重合，此时CCD通过试件O（x，y）点记录散斑板面上P（x0，y0）点信息。试件发生变形时，由于光路的改变，散斑板面上Q（x0+δx，y0+δy）点通过O（x，y）点被CCD记录，其中δx和δy分别为PQ在x，y方向上的分量。光路OQ的单位向量用下式表示：

式中，α，β和γ是→d的方向余弦。由应力改变导致的试件折射率变化和泊松效应导致的试件厚度变化产生的光程差表示如下［8］：

式中，n是试件未变形时的折射率，B是试件的厚度。方程中的第1项代表厚度变化引起的光程差，第2项代表折射率变化引起的光程差。根据Maxwell-Neumann定律和线弹性力学理论，对于光学各向同性且无双折射性质的材料，折射率变化与主应力之间的关系为［9］：

式中，Cσ=D1-（ν/E）（n-1）是材料的光学常数。由于弹光效应使光程发生改变导致光线相对于光轴的偏转角，由光程函数得到的光传播矢量为［8］：

从（1）式、（5）式、（6）式得知，对于小偏转角，方向余弦与面内应力梯度存在如下关系：

经简单几何推导可以得到小偏转角下方向余弦α，β与偏转分量φx，φy之间的关系：

（9）式和（10）式便是数字敏感梯度法的控制方程，已知Cσ和B就可以得到面内应力梯度，而δx，δy可利用2维数字图像相关方法获取。

1.2 数字图像相关方法原理

数字图像相关方法是对运动、变形前后所采集得到的物体表面的两幅数字图像（散斑图像）进行相关匹配，以测量物体的位移、应变及场的分布，当物体表面变形时，物体表面的散斑随物体的变形而运动，物体表面随机分布的散斑点即为位移及变形的载体。其基本原理如图2所示，在参考图像中取以某待求像素点P（x0，y0）为中心的（2M+1）pixel×（2M+1）pixel大小的正方形区域作为参考图像子区，在目标图像中通过一定的搜索方法按预先定义的相关函数进行相关计算，寻找与参考图像子区互相关系数最大或最小（取决于所选择的相关函数）以P′（x0′，y0′）为中心的目标图像子区，以确定P（x0，y0）点在x和y方向上的位移分量u和v。更详细的内容可以参考相关文献［3-6］。

2 实验研究

2.1 实验

基于上述理论，本文中对透明PMMA有限宽板条的中心贯穿裂纹进行了静态实验。试样的尺寸为400mm×100mm×3.8mm，中心裂纹为如图3所示长度为31mm的尖裂纹。实验前先对一表面平整的板面进行处理，使其表面具有随机分布的散斑点以作为本文中实验的目标板，并将其置于试件后方Δ处（本文中Δ=32mm），且保证与试件表面平行。然后用CCD记录不同加载时刻目标板表面的散斑图像作为目标图像，采集图像时通过调整CCD焦距使图像最清晰为佳。实验中图像采集系统采用分辨率为2448pixel×2048pixel的CCD，标定系数为1mm= 95pixel。图4为CCD聚焦于试件表面和目标板表面裂尖附近区域的图像。从图4可以看出，由于受边界效应的影响，裂纹面附近区域的图像相对模糊，因此在用数字图像相关方法获取裂尖附近的δx和δy时不再考虑此区域。

在对变形前后所采集的数字图像进行相关运算时，采用作者编写的基于MATLAB的数字图像相关计算软件，由于依附于MATLAB，因此可以很好地借助于MATLAB在数值计算和图像处理方面的优势而扩展其相关功能，操作简单、功能齐全。在相关计算中，由于加载过程中受应力集中的影响，试件裂尖附近区域对应的图像变形较大，为了尽量保证实际变形与算法所采用形函数的匹配［10］，采用31pixel× 31pixel相对较小的计算子区。

图5显示了通过计算得到的裂尖附近矩形区域内不同荷载下偏转角φx和φy的等高线，可以看出偏转角φx和φy分别呈轴对称分布，而且越靠近裂纹尖端等高线越密，说明越靠近裂尖，应力奇异性越大，应力集中程度越高。这与参考文献［9］中所采用方法得到的结果完全一致，与参考文献［9］中所不同的是，数字敏感梯度法只需一次相关计算便可同时得到对应荷载下的偏转角φx和φy。

2.2 KI的测定

根据WILLIAMS对Ⅰ型裂纹应力场的描述，面内应力梯度描述如下［8］：

式中，对于PMMA，Cσ=-0.9×10-10m2/N。（r，θ）为定义在裂尖处的极坐标。A1=KⅠKⅠ为对应的Ⅰ型裂纹应力强度因子。在K主导假设前提下，上式中N≥2项相对于N=1项可以忽略。于是（11）式、（12）式化简为：

从（13）式、（14）式可以看出，只要知道Cσ，B和偏转角φx或φy便可计算得到应力强度因子KⅠ。本文中对0.3≤r/B≤1.2和-90°≤θ≤90°区域所包含点通过最小二乘提取应力强度因子，这样可以有效减小因距裂尖过远或过近对计算结果产生的影响。根据Irwin应力强度因子理论，应力强度因子用如下公式计算［11］：

式中，C为几何形状因子，对于有限宽板条的中心贯穿裂纹（如图6所示，其中，2a是裂纹的长度，2b是有限宽板的宽度），本文中采用Isida公式的最小二乘法拟合［11］：

将（16）式带入（15）式可得：

式中，F是加载力。

采用此公式可以对本文中描述问题的应力强度因子进行理论计算。图7显示，本文中通过实验计算得到的应力强度因子KⅠ与理论值吻合较好。

3 结 论

介绍了数字梯度敏感测量技术的基本原理，并将其运用于PMMA材料Ⅰ型裂纹尖端变形场和断裂特征的测量，通过数字图像相关方法对光线偏转角的计算提取了Ⅰ型裂纹应力强度因子KⅠ。结果表明：DGS方法对断裂力学裂纹尖端区域的应力梯度敏感；通过DGS方法测得的KⅠ与理论结果吻合较好；由于DGS方法对环境要求低、光路简单，且与现已比较成熟的DIC方法相结合，在相关材料应力集中问题全场测量方面是一种行之有效的方法。

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Digital gradient sensing measurement applied in static fracture mechanics experiments

YU Hai1，GUO Rongxin1，XIA Haiting1，YAN Feng1，ZHANG Yubo1，HE Tianchun2
（1.Key Laboratory of Yunnan Higher Education Institutes for Mechanical Behavior and Microstructure Design of Advanced Materials，Department of Engineering Mechanics，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China；2.Yunnan University，Kunming 650500，China）

In order to study the local deformation field of crack tip and fracture characteristics in fracture mechanics，static fracture tests of the limited-width polymethyl methacrylate specimen with center-crack were carried out with digital gradient sensing method.Speckle patterns under different states of stress near the crack tip were recorded by CCD in the experiment.Angular deflection was obtained by digital image correlation method and stress intensity factor in modeⅠcrack was extracted by angular deflection.It shows that the stress intensity factor calculated by digital gradient sensing measurement method is consistent with theoretical results.

image processing；fracture mechanics；digital gradient sensing；digital image correlation；angular deflection；stress intensity factor

O348.1

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.05.011

1001-3806（2014）05-0627-05

云南省应用基础研究基金面上资助项目（2011FB029）；教育部高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（20105314110006）

俞 海（1986-），男，硕士研究生，主要从事光测实验力学的研究。

*通讯联系人。E-mail：guorx@kmust.edu.cn

2013-09-23；

2013-10-29