同课异构，各显风采——2013全国中学数学高效课堂交流展示活动听课随笔

■杨 平 罗晓航

同课异构，各显风采
——2013全国中学数学高效课堂交流展示活动听课随笔

■杨 平 罗晓航

编者按：2013年12月21日，全国中学数学高效课堂交流展示活动暨首届中学数学教师高效课堂主题说课大赛在北京召开。此次大赛为全国中学数学教师搭建了一个相互交流和展示的平台，参赛者的教学实践及在研究领域中所取得的宝贵经验和丰硕成果得以推广。本刊特开辟“中数专题”栏目，以展示本次会议中与会教师的部分教学科研成果，为广大教师提供再学习、再分享的桥梁。

同课异构，形式不新，但每次听课都是耳目一新，眼前一亮。在全国中学数学高效课堂交流展示活动暨首届中学数学教师高效课堂主题说课大赛中，参加同课异构展示的3名教师分别是来自北京市大兴三中的师春红老师、山东诸城的徐首军老师和山东聊城的洪兰雨老师。他们这次讲的题目是九年级《切线的判定》，内容不难，但这3位老师着实下了一番功夫，无论是挖掘教材，还是教学环节的掌控，还有调动学生的参与，都让听课者收获颇多。

师春红：一题多变，多题归一

在定理应用环节，为加深学生对定理的理解，老师给出了例1。

求证：直线AB是⊙0的切线。

学生面对此题很从容，一名学生在回答时甚至说出了“从结论入手，即若证直线AB是⊙O的切线，根据定理，只需证明OA⊥AB即可”的精彩想法。题目不难，学生体会了定理的初步应用，同时，对演绎推理又有了进一步的理解。老师又和学生一道总结出“已知半径，证出垂直，可得切线”的策略。好一个“已知半径”，那“不知半径”又该怎么办？这时老师又给出例2。

例2.已知：如图，AB是⊙0的直径，C是AB延长线上一点，D是⊙0上一点，若∠A=20°，∠C=50°，求证：直线CD是⊙0的切线。

“不知半径”，怎么办呢？聪明的学生又说出令人振奋的想法：“证明切线，还是要从定理入手，那就必须知道半径且证明此半径与直线CD垂直。”多么好的想法，是划归思想的具体体现，把未知转化为已知，把无半径转化为有半径，精彩！连接OD后，学生很快利用圆的性质和角的条件，得到了∠ODC=90°.这时一名女生提出了自己的想法。

生：过点B做BF∥0D，交直线CD于点F，只需证明BF⊥CD就可以了。

师：怎么证明？

生：连接BD，……∠0DB=70°……

（经过充分讨论）

师：想法不错，但有些麻烦。

很遗憾，这名同学的想法被否掉了。其实，这是个很好的闪光点，是一种问题转化的意识。如证明切线，我们把它转化为证明垂直问题，或是求角问题，该同学把证明OD⊥CD的问题转化为BF⊥CD的问题，这种意识很重要。如证明哥德巴赫猜想时，数学家们在证明“1+1”问题达不到的情况下，就是转化为证明“1+2”问题的。因此，这名同学的思维过程应该给予肯定，事实上，该同学只是走一点弯路而已，不连接BD，而是证明∠DOC=∠FBC=40°，又因为∠C=50°，可得∠BFC=90°，进而，又因为BF∥OD，所以∠ODC=90°。

尽管如此，一题多解，也让学生们思维达到碰撞。原以为此题结束了，但老师又抛出一问：“若∠A=25°，∠C为多少度时，可得直线CD是⊙O的切线？”接着又问：“当∠A、∠C满足怎样的数量关系时，直线CD是⊙O的切线？”这一问引起学生热议、争论，最后一致得出2∠A+∠C=90°。这个问题很有水平，引导学生从特殊走向一般，而几何中，除了研究常规的大小和位置关系之外，就是要研究运动中的不变量，而此题中当点C在过点D的切线上运动时，都会有不变量2∠A+∠C=90°，但同时我们也发现，这个问题中还有一个不变元素，即“AB是⊙O的直径”。

又出现了新状况。一学生说：“我发现∠BAD=∠BDC。（恰好是弦切角定理）”老师：“我们用几何画板演示一下，看看能发现什么。”学生又看到在CD为切线的前提下，随点C运动时，这两个角依然相等。这时，老师又抛出一个新的问题。

例3.已知：如图，AB是⊙0的直径，C是AB延长线上一点，D是⊙0上一点，当∠BAD=∠BDC时，直线CD是⊙0的切线吗？

问题很快解决了，但这时老师又提出新的问题：“上述问题都涉及到‘AB是⊙O的直径’，那么，如果AB不是⊙O的直径，又会怎样呢？”条件一点一点减弱。

例4.已知：如图，A、B、D是⊙0上的点，C是AB延长线上一点，当∠BAD=∠BDC时，直线CD是⊙0的切线吗？

由直径到非直径，由特殊到一般，相当精彩，但一名女生的解答更精彩。她说：“连接BO交圆于点L，连接DL，DB再连接OD，则出现与上一题一样的图形，即直径的模型，而同弧BD所对的圆周角∠BAD=∠L=∠BDC，因此，仿照前面的证法，可以证明直线CD是⊙O的切线。”回答得太精彩了，把非直径的问题转化为已经解决的直径问题，是化归思想的体现。等大家安静下来后，这时老师又有新问题了：“这么多图形，有没有相同之处呢？”问得很好。是的，题做了很多，该提炼总结了，这个环节也培养了学生的归纳、抽象、概括能力。最后，大家一起把视线定在一个图形上，不难发现是圆的切线判定定理的图形。

从定理出发，一题多解，一题多变，而又众图归一，由简单到复杂，又由复杂回归简单，这节课很精彩。

变式教学以现代教育理论为指导，精心设计问题，引导探索发现，展现形成过程，以注意知识建构、摒弃题海战术、提高应变能力、优化思想品质、培养创新精神为基本要求，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，遵循目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新等教学原则深入挖掘教材中蕴涵的变式创新因素，努力培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。一般来说，学生数学创造能力的大小和他的发散思维能力成正比。因此，加强发散思维能力的训练，对培养创新型人才具有深刻的意义。

徐首军：学案导学，顺其自然

徐老师的课采用的是以导学案为载体的教学模式，相对于师春红老师的课来讲，显得轻松一些，没有了思维上的大起大落。学生创新能力的培养应该是主动思维和积极探究的过程，那么，就必须把知识问题化、能力过程化、情感态度潜移化，而导学案恰恰能构建教师和学生间的平台，以学案为载体，创建积极的、有序的、和谐的课堂教学环境。尤其是数学教学，更能体现学案导学模式的优越性，发挥最大的积极作用。

定理引出情景 按照导学案的要求，学生根据所学知识和已知条件画出圆的切线。此问题设计的很好，本节内容都是研究圆的切线，那么，切线到底怎么画？把学生的关注点吸引到过半径的外端点画半径的垂线，为后续的判定公理的出场做好铺垫。

定理证明与理解 切线的判定定理给出以后，导学案安排了一组概念辨析题，如过半径的外端的直线是圆的切线；过直径一端且垂直与这条直径的直线是圆的切线；⊙O的半径为2，直线过圆上一点P，且OP=2，则此直线是圆的切线等。这些问题都是全称命题，学生在争论中，或利用判定定理证明其正确性，或找到反例说明其错误，这些辨析问题可以让学生了解若说明全称命题假，只要说明特称命题真即可，也就是举反例。

定理应用 这个环节基本是学生完成，教师引导大家向讲题者提问，如“为什么要连接OC，你是怎么想到的”等。这个环节老师给的时间很充分，让学生充分发言。相对于解决问题而言，提出问题更难也更有价值，问题提的恰到好处，则能使学生关注知识的本质，对知识的本质理解了，也就能对知识运用自如了。因此，引导学生质疑、提问、说出自己的困惑、说出自己的想法（哪怕是幼稚的想法），然后大家解释、争论，最终掌握知识。学会提问、敢于质疑，是提高学习能力的重要环节。

本节课，教师对于学生的表现丝毫不吝惜赞美之词，学生的自信心和积极性也得到了充分的鼓励和释放。

洪兰雨：循环课堂，学生为师

目前的课堂教学模式形式较多，山东省一直以来都在尝试新的教学模式，如“循环大课堂模式”“自学·释疑·达标模式”“271模式”等，其本质都是以学生为主体，突出学生的自主学习、合作学习，正所谓“兵教兵、兵强兵、兵练兵”，在研讨、争论中，碰撞思维火花，实现共赢。洪老师这节课为“循环大课堂模式”，是典型的先学后教。

第一环节，小组合作完成7个前置作业：①过⊙O上一点，如何画出⊙O的切线？②为什么经过半径的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线？判定定理的题设和结论是什么？利用其证明切线，需要什么条件写出其符号语言。③总结判断切线三种方法。④判定方法2和判定定理分别在什么情况下使用？（题例）⑤切线的性质定理题设和结论分别是什么？写出符号语言。⑥你会证明切线的性质定理？⑦已知直线与圆相切，常作什么辅助线？（题例）在这一环节，老师在几个组之间，不时地参与讨论，但听到更多的是学生的争论之声。

第二环节是小组展示环节，每个小组的组长到前面讲解本小组的讨论结果，老师等待其他同学的质疑，并不失时机地挑起大家的争论。小组展示很精彩，但更多的是展示结果，若能先展示本组的研究过程、研究挫折和如何调整研究方向改变研究方法等，再把正确的结果呈现出来会更好，因为其他同学也会有挫折，但缺乏的就是如何突破困境的方法，这样做还是那样做，一听就能明白，但真正的价值是你怎么想到的呢？本节课容量很大，兵教兵，老师可以说是“惜字如金”，把更多的话语权交给学生，关键的几句话、几个问题，一针见血，直接把学生的关注点引到知识的本质上。这样的课堂，更需要老师站在更高的角度、系统的高度来面对知识，点评时更关注学生的纠结点。

这样的课堂对老师要求更高，更需要老师深挖教材，关注学情。

课后笔记

以上3位老师的课十分精彩，但也存在不足，如对切线的本质挖掘不到位。中学的课本给出了切线的3种判断方法，当直线与圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。第一种方法是利用直线与圆的公共点的个数来定义的，但这种定义给学生造成一个误区：当研究抛物线的切线时，学生会认为直线与抛物线有一个公共点是就是切线。这显然不对，因为直线与其对称轴平行时，也只有一个公共点，但不是切线。第二种方法是圆的切线所独有的性质，别的曲线没有此性质。第三种方法，即判定定理，其实就是从切线的几何意义来定义的。如图，当点P有P1位置无限逼近点A时，割线（弦）AP就变成了圆的切线，此时，此极限位置的直线恰好过半径OA的外端且与半径垂直。教师可以把切线的定义从这个角度给学生分析、几何画板展示，在今后的学习中学生对切线的理解就会很自然。

综上所述，笔者认为，理解数学概念的本质，是学好数学的观念，理解数学概念本质，以不变的知识，应百变的试题。跳出题海，从理解数学概念的本质入手。

（作者单位：北京市日坛中学）