压力传感器非线性曲线拟合方法及不确定度分析

2014-04-13赵海鹰

计测技术 2014年4期

关键词：输出特性标准差乘法

赵海鹰

(中国人民解放军92493 部队89 分队，辽宁葫芦岛125000)

0 引言

随着压力测试技术的发展，各种工程领域及科学研究中，对压力传感器的测量准确度提出了更高的要求。本文针对压力传感器输出曲线拟合问题进行讨论与分析。

1 传感器的输出特性与拟合曲线

一般来说，对于两个变量x 和y，如果理论上存在方程y=a +bx，则说x 和y 成线性关系或直线关系，通过实验便可获知反映两个变量之间关系的一系列数据来确定方程系数a 和b 的值，以寻求两个变量之间的函数关系，称其为直线拟合。直线拟合曲线如图1所示。

压力传感器的输入输出特性通常也会用代数法拟合出图1所示直线关系，这样计算过程比较简单，使用时也比较方便。而实际上许多传感器的输入输出关系并不是直线关系，如图2所示，某应变电阻式压力传感器的输入与输出特性就不是显著的直线关系。如果按照JJG 860-94《压力传感器(静态)检定规程》的要求，理论上拟合出输入输出的直线关系，这种数据处理方法必然会引入较大的偏差。因此，应对传感器输出特性进行非线性拟合以提高传感器测试准确度［1］。

图1 直线拟合曲线

图2 传感器输出特性

2 传感器输出特性的非线性拟合

最小二乘法是求解直线拟合方程最有效的实验数据处理方法，用最小二乘法直接求解非线性拟合方程是非常复杂的。但是，如果通过变量代换把非线性拟合曲线变为线性拟合直线，继而，可用一元线性拟合方法求解传感器非线性拟合方程［2］。

2.1 非线性曲线模型确定

观察图2 中散点数据分布特点，发现其形状酷似指数函数曲线，所以可取指数函数模型进行拟合。假设指数函数模型如公式(1)。

公式(1)可变换为公式(2)，有

令Y=lny，A=lnα，B=β，X=x，代入公式(2)有

通过上述变量代换，传感器输出特性曲线方程便可转化为关于变量Y 与X 的直线关系方程。

2.2 线性方程的求解

某型压力传感器输入压力与输出电压关系测试值如表1所示，其中Y 与X 为变量代换值。

表1 传感器输出特性测试值与变量代换值

下面以表1 中的数据推导变量代换后一元线性方程Y=A+BX 中参数A 与B 的值。按照误差最小的原则，以最小二乘法直线作为拟合曲线的模型是求系数A 与B 最佳估计值时最常用的有效方法。

利用最小二乘法原理求直线方程系数为［3］

把表1 数据代入公式(4)和(5)，得B=25.3690，A=0.2142。

所以，变量代换的直线拟合方程可表示为

2.3 非线性方程的拟合

公式(1)为传感器输出特性的非线性模型，根据变量代换关系A=lnα 有

将求得参数A 值代入公式(7)得

α=eA=1.2389

根据变量代换关系B=β 有β=B=25.3690。

将α 与β 值分别代入公式(1)求得传感器输出特性非线性拟合方程为

传感器输出特性非线性拟合方程(8)如图3 中曲线所示，图3 中直线为线性拟合方程。这一实例可以看出非线性拟合较直线拟合准确度显著提高。

图3 传感器输出非线性拟合曲线

3 非线性拟合曲线不确定度分析

由代换变量Y=lny 和公式(3)得

公式(9)可见，由非线性拟合曲线得预测值y 的不确定度取决于代换变量值Y，下面首先推导代换变量值Y 的不确定度。

3.1 变量Y 的残余标准差

变量代换方程Y=A+BX(X=x)如图4所示，因变量Y 之间的差异由两个因素决定:一是自变量x 取值的不同;二是测量误差等其他因素的影响。图4 中将变量Y 的值Yi与其均值的偏差分解为由变量x的不同取值引起的回归偏差和由测量误差等其他因素引起的残余误差，因为xi 为非测量量(不是随机量)，其不确定度分量小到可忽略，则此时残差方程可表示为

式中:Q 为残余平方和，即所有观测点Yi到拟合直线的残余误差的平方和。则Y 的残余标准差s 为(Q 的自由度ν=N-2)

式中:s 用来表征所有随机因素对Y 的一次性观测的平均变差的大小。

图4 直线拟合方程

3.2 代换方程系数的标准差

拟合系数B 的标准差用来描述拟合系数的分散性。根据公式(4)和(5)及方差的性质有［4］:

所以拟合系数B 的标准差为

同理推出拟合系数A 的标准差为

拟合系数a 和b 的协方差为

3.3 变量代换方程的稳定性

变量代换方程的稳定性是指由代换方程曲线计算得的值Y 的波动性，大小用其标准不确定度u(Y)表示。

根据不确定度传播公式及方程(3)有［5-7］:

将公式(11)，(13)，(14)及(15)代入公式(16)计算得:

3.4 非线性拟合曲线预测值的不确定度

根据不确定度传播公式及公式(9)，非线性拟合曲线预测值的标准不确定度为

需要指出的是，在化曲线为直线的回归计算中，通常y 是做了变换的，本例中函数曲线方程y=αeβx经变换后，虽然是按最小二乘意义使达到最小，实际是使最小，两者物理意义不同，此时求得的回归曲线不能说是最佳拟合曲线。所以，非线性拟合中存在着比较哪个函数模型拟合效果好的问题。模型的假设除了依靠观察经验，还有一个原则是比较不同函数模型计算所得Q 值与s 值，小者为优。