S-亚紧空间

张焰杰，吴昭鑫，杨思鑫

（成都理工大学管理科学学院，成都610059）

S-亚紧空间

张焰杰，吴昭鑫，杨思鑫

（成都理工大学管理科学学院，成都610059）

文章引入了S-亚紧空间，并且获得3个主要结果:（1）如果（X，T）是一个S-亚紧的T2空间，则对X中的任意一个闭集A和不属于A的任一点x，存在U∈T，V∈SO（X，T）使x∈U，A⊆V且U∩V=Ø。（2）如果（X，Tα）是S-亚紧的，则（X，T）是S-亚紧的。（3）（X，T）是一个极不连通的T2空间，则（X，T）是S-亚紧的当且仅当X的每个开覆盖U有一个点有限的正则闭加细V，V∈RC（X，T）。

半开集；极不连通；S-亚紧；α-集

S-仿紧空间的概念是由K.Y.AL-ZOUBI提出［1］，文章在此基础上定义了S-亚紧空间，并对S-亚紧空间的性质做了初步的探讨，S-亚紧空间是对亚紧空间进一步拓展，即亚紧空间一定是S-亚紧空间，反之则不一定成立。

1 预备知识

本文简称拓扑空间为空间，int（A）、cl（A）和scl（A）分别表示集A的内部、闭包和半闭包。

定义1［1］（X，T）是一个拓扑空间，集合A是X的子集，集合A称为半开集，如果在X中存在开集U使得U⊆A⊆cl（U）或A⊆cl（int（A））半闭集，即半开集的余集。集合A的半闭包，即包含A的最小的半闭集，用scl（A）表示。集合A称为正则开（正则闭，预开启），如果A =int（cl（A））（A=cl（int（A）），A⊆int（cl（A））），用SO（X，T）、RO（X，T）、RC（X，T）和PO（X，T）分别表示由（X，T）中所有的半开集、正则开、正则闭和预开启的子集构成的集族。

定义2空间X称为是S-亚紧的，如果X的每一个开覆盖都有一个点有限的半开加细覆盖。

定义3［2］空间（X，T）称为极不连通的，如果空间（X，T）中每个开集的闭包在（X，T）中仍然是开集。

定义4［3］（X，T）中的子集A称为α-集，如果A⊆int（cl（int（A）））。

定义5［3］用Tα表示由（X，T）中所有α-集构成的集族，若它形成X的一个拓扑，则有T⊆Tα⊆SO（X，T）=SO（X，Tα）。

引理1［3］若A是空间（X，T）中的一个开集，则对任意的V∈SO（X，T）有A∩V∈SO（X，T）。

引理2［4］F=｛Fα∶α∈I｝是空间（X，T）的一个集族，则集族F是点有限的当且仅当｛scl（Fα）∶α∈I｝是点有限的。

证明显然成立。

引理3［3］若空间（X，T）是极不连通的，则对每一个U∈SO（X，T）有scl（U）=cl（U）。

2 主要结论

定理1如果（X，T）是一个S-亚紧的T2空间，则对X中的任意一个闭集A和不属于A的任一点x，存在U∈T，V∈SO（X，T）使x∈U，A⊆V且U∩V=Ø，即对X的每个包含x的开集U，存在开集V使得x∈V⊆scl（V）⊆U。

证明对于任意的y∈A，存在Wy，Y∈Wy，x∉cl（Wy）。故集族W=｛Wy∶Y∈A｝∪｛X-A｝是X的一个覆盖，那么它存在一个点有限的半开加细覆盖H，令V=∪｛H∈H∶Y∈H｝，那么V是一个包含A的半开集，由cl（V）=cl（∪｛H∈H∶Y∈H｝）知道U=X-cl（V）是一个包含x的开集且U∩V=Ø。

推论1每个S-亚紧T2空间是半正则的，即T=TS。

证明对于任意的U∈T，由定理1知存在开集V，使V⊆s cl（V）⊆U，又V⊆int（cl（V））推出V∈PO（X，T），推出scl（V）=int（cl（V）），即V⊆int（cl（V））⊆U，由于int（cl（V））构成的集族是空间X的一个基，所以X是半正则的。

推论2每个极不连通的S-亚紧T2空间是正则的。

证明∀x∈X和x的任意开邻域存在开集V使x∈V⊆scl（V）⊆U，由（X，T）是极不连通的，所以scl（V）=cl（V）即x∈V⊆cl（V）⊆U，从而X是正则的。

定理2每个极不连通的S-亚紧T2空间是亚紧的。

证明U是X的一个开覆盖，由推论2知任意的x∈X，存在Ux∈U，Vx∈T使得x∈Vx⊆cl（Vx）⊆Ux，则V=｛Vx∶x∈X｝是X的一个开覆盖，从而V存在一个点有限的半开加细覆盖，W=｛Wβ∶β∈B｝对于任意的β∈B存在开集Hβ使得Hβ⊆Wβ⊆cl（Hβ），那么对于任意的β∈B存在Vx∈V使得cl（Hβ）=scl（Hβ）=cl（Wβ）⊆cl（Vx）⊆Ux，由引理2知W=｛Wβ∶β∈B｝是点有限的，当且仅当W=｛scl（Wβ）∶β∈B｝是点有限的，从而W=｛cl（Wβ）∶β∈B｝是点有限的，那么集族H=｛cl（Hβ）∶β∈B｝是点有限的，故H是U的一个点有限的开加细覆盖。

定理3如果（X，Tα）是S-亚紧的，则（X，T）是S-亚紧的。

证明设U是（X，T）的一个开覆盖，由于T⊆Tα，所以U是（X，Tα）的一个开覆盖，从而U在（X，Tα）中存在一个点有限的半开加细V，由于SO（X，T）=SO（X，Tα），显然V在（X，T）中也是点有限的，所以（X，T）是S-亚紧的。

定理4（X，T）是极不连通的空间，若（X，TSO）是S -亚紧的，则（X，T）是S-亚紧的。

证明由于（X，T）是极不连通的，SO（X，T）⊆PO（X，T）［5］，知Tα=SO（X，T）∩PO（X，T）=SO（X，，由定理3知（X，T）是S-亚紧的。

定理5（X，T）是T2空间，则有（X，T）是S-亚紧的，当且仅当X的每一个开覆盖都有点有限的半闭加细V（V∈SC（X，T），任意V∈V）。

证明必要性∶设U是X的任一个开覆盖，对于任意的x∈X，存在UX∈U，且x∈UX，由定理1知存在VX∈T使得x∈VX⊆scl（VX），因此｛VX∶x∈X｝是X的一个开覆盖。则它存在一个点有限的半开加细W=｛Wβ∶β∈B｝，令scl（W）=｛scl（Wβ）∶β∈B｝，显然scl（W）是一个点有限的半闭集族，且对任意的β∈B有scl（Wβ）⊆scl（VX）⊆UX，所以scl（W）是U的一个半闭加细［7］。

充分性∶U是X的一个开覆盖，V是U的一个点有限的半闭加细，若V中仅含一个元素V，则V=X，显然V是U的一个点有限的半开加细；若V中含有多个元素，令V′=X-V，V∈V，则｛V′∶V∈V｝是X的一个半开覆盖，任意的V∈V都存在UV∈U使得V⊆UV，由引理1知｛UV∩V′∶V∈V｝是U的一个点有限的半开加细。

定理6［8］（X，T）是一个极不连通的T2空间，则（X，T）是S-亚紧的，当且仅当X的每个开覆盖U有一个点有限的正则闭加细V，V∈RC（X，T）。

证明充分性∶对任意的V∈RC（X，T）显然int（V）⊆V=cl（int（V）），从而V∈SO（X，T），所以X的每个开覆盖U有一个点有限的半开加细V。

必要性∶设U是X的任一开覆盖，则对任意的x∈X和任意的Ux∈T，由推论2知存在X的一个开领域V使得x∈VX⊆cl（VX）⊆Ux，因此｛VX∶x∈X｝是X的一个开覆盖，则它存在一个点有限的半开加细〛W=｛Wβ∶β∈B｝，由引理2知｛scl（Wβ）∶β∈B｝是点有限的，又（X，T）是极不连通的，故｛cl（Wβ）∶β∈B｝是点有限的，又Wβ⊆VX，知cl（Wβ）⊆cl（VX）⊆Ux，所以V=｛cl（Wβ）∶β∈B｝点有限加细U，又由于Wβ∈SO（X，T），所以cl（Wβ）∈RC（X，T），故V=｛cl（Wβ）∶β∈B｝是U的一个点有限的正则闭加细覆盖。

［1］Levine N.Sem i-open sets and sem i-continuity in topological spaces［J］.Amer.M ath.M onthly'1963'70: 36-41.

［2］Noiri T.Properties of S-closed spaces［J］.Acta Math. Hungar.'1980'35:431-436.

［3］AL-Zoubi K Y.s-paracompact［J］.Acta Math.Hungar.' 2006'110:165-174.

［4］Al-Zoubi K Y.s-expandable spaces［J］.Acta M ath.Hungar.'2004'102:203-212.

［5］Jankovic D S.A note on mappings of extremally disconnected spaces［J］.Acta Math.Hungar'1985'46:83-92.

［6］Reilly IL'Vamanamurthy M K.Onα-continuity in topological spaces［J］.Acta Math.Hungar'1985'45:27-32.

［7］高国士.拓扑空间论［M］.北京:科学出版社'2000.

［8］赵树魁.亚强和亚弱仿紧空间的一些性质［J］'吉林化工学院学报'2012(4）:80-83.

S-weak Paracom pact Spaces

ZHANG Yanjie，WU Zhaoxin，YANG Sixin
（College of Management Science，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China）

The notion of S-weak paracompact is introduced and the following results aremainly proved:（1）If（X，T）is a S-weak paracompact T2-space，then for every closed subset A of X and x∉A，there exist U∈T and V∈SO（X，T）such that x∈U，A∈V and U∩V=Ø；（2）If（X，Tα）is S-weak paracompact then（X，T）is S-weak paracompact；（3）Let（X，T）be a extremely disconnected T2-space.Then（X，T）is S-weak paracompact if and only if each open cover U of X has a locally finite regular-closed refinement V，V∈RC（X，T）

semi-open sets；extremely disconnected；S-weak paracompact；α-sets

O189.11

A

1673-1549（2014）01-098-03

10.11863/j.suse.2014.01.25

2013-09-30

安徽省高等学校省级优秀青年人才基金项目（2010SQRL158）

张焰杰（1988-），男，河南安阳人，硕士生，主要从事拓扑学方面的研究，（E-mail）1036961343@qq.com