论齐民友的数学观与数学教育观

郑隆炘，巴 英



论齐民友的数学观与数学教育观

郑隆炘，巴 英

（江汉大学数学与计算机科学学院，湖北武汉 430056）

齐民友是著名数学家、数学教育家．他对数学与数学教育领域中的一些重要问题，都发表过深刻而独到的论述．在研究这些论述的基础上，总结概括出他“科学、有哲理、强调理性精神”的数学观，以及“强调基础，重视创造，突出对探索精神培养”的数学教育观．

齐民友；数学观；数学教育观；理性精神

齐民友（1930—）是中国著名数学家、数学教育家，曾任国务院学位委员会数学组成员，中国数学学会副理事长，湖北省数学学会理事长，武汉大学校长，湖北省科协副主席．齐民友在偏微分方程领域，特别在“偏微分方程算子理论”、“Fuchs型和奇性偏微分方程”等方面取得了一系列重要的研究成果，曾荣获国家自然科学奖奖励．他长期担任大学本科与研究生的教学任务，为国家培养了一批优秀的数学人才．他出版了二十多种数学专著、译著、教材，发表了许多优秀的学术论文，为数学的发展与数学教育作出了重要贡献．他在各类数学学术会议上作学术报告，经常发表许多深刻而精辟的见解．他还参与中学教师的培训，主持高中新教材的编写，给大学生开设数学或科学知识讲座．他对数学与数学教育的许多问题都做过深层次的思考，形成自己独特的数学观与数学教育观．对于这些，目前研究得甚少．这里试从若干侧面进行初步探索，论述齐民友的数学观与数学教育观．

1 科学 有哲理 强调理性精神的数学观

数学观是对数学整体的看法，是对数学的特征、地位与作用、研究对象、发展动力与规律、与实践的关系等问题的深层次的思考，属于数学哲学的范畴．数学家、数学工作者、数学教育工作者在这些数学哲学问题上都会自觉或不自觉作出一定的回答．齐民友在他的论文、著作、演讲中，对数学哲学中的这些关键问题都作过深刻的研究，阐述了他“科学、有哲理、强调理性精神”的数学观．

1.1 数学根本的特征是它表达了一种理性精神

齐民友在《数学与文化》一书的绪言中论述了数学学科的3个特征：首先，它是一种完全确定、完全可靠的知识，就其影响人类文化讲，它的逻辑方法是最突出的；其次，它不断追求最简单、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本；第三，它不仅研究宇宙的规律，也研究它自己，它对自己的概念、方法、成果总是不断地进行反思，在理性思维中使问题得到改变．齐民友在此基础上指出，数学是人类理性发展最高的成就，“数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神．”他认为，数学把理性思维的力量发挥得淋漓尽致，它提供了一种思维的方法与模式，提供了一种最有力的工具，提供了一种思维合理性的标准，给人类的思想解放打开了道路．

齐民友从精神与探索的角度论述数学学科的特征，使人们对经典的数学特征论述的“高度的抽象性，严密的逻辑性，应用的广泛性”的理解加深，其思路得到进一步拓展．经典的数学特征论述虽然是必要的，但只有从多角度、多方面进行深刻的探索，并适当地拓展讨论，才能显示出数学本质的力量．这项工作是非常重要且必不可少的．实际上，齐民友论述的3个特征，更加强调与突出了数学抽象性与理性精神的地位，以及不断对自己的概念、方法、成果进行反思的作用．

齐民友还特别指出：我在《数学与文化》这本书里提到的理性精神都不是中国固有的，中国需要这种对我们颇为陌生的文化，即以理性思维为主要内容的文化，这是以一整套数学为重要内容的文化，它起的作用比孔夫子影响大得多．他提出表达一种探索的理性精神是数学最根本的特征，是西方数学长期形成的本质特征，是中国过去在文化与数学发展史中所不足的，今后在文化与数学发展中应该予以高度重视．这是非常有创见的观点，也抓到数学特征的根本，在过去很少有人有这样深刻阐述过．齐民友对西方近代数学的理性思维的高度评价与肯定，对于广大研究者研究数学文化、以至整个文化的发展，有着前瞻性的重要意义．

关于数学学科抽象性与逻辑推理，以及理性精神在数学学科中的核心地位，齐民友在很多著述中都进行过深刻的论述．齐民友认为，数学的本质是探求一种规律性，这种规律通常都是极为抽象的．“数学是一个有严格结构的整体，其特点是强调逻辑推理．数学又是具有高度抽象的科学，其特点是脱离具体的实践经验，脱离具体的物质运动形式．”齐民友指出：“数学要为经济发展的要求服务、为技术服务之外，还有更深刻的任务，即探讨宇宙的规律．正因为它是科学，所以它又能更好地适应技术和经济发展的要求．”把探讨宇宙的规律的科学的理性精神，作为数学的最重要的本质特征，正是齐民友数学观的核心内容之一．

1.2 没有现代的数学就不会有现代的文化 没有现代数学的文化是注定要衰落的

关于数学在文化中的地位与作用，齐民友在分析了数学史上事例的基础上，提出崭新的重量级观点．他深刻地指出：“历史已经证明，而且将继续证明，一种没有发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的．”“没有现代的数学就不会有现代的文化，没有现代数学的文化是注定要衰落的．”现在，这两句话已经成为经典名言，常被许多数学家、数学工作者、数学教育工作者引用．齐民友是怎么提出这个论点的？依据是什么？应该如何理解？结合齐民友的著作、讲话，可以从以下几方面进行阐述．

第一，从历史上看，数学大大促进了人类思想的解放，提高与丰富了人的精神水平．数学促进人类思想解放有两个阶段，第一阶段从数学开始成为一门科学到18世纪中叶，在这个时期中，数学帮助人类从宗教和迷信的束缚下解放出来，从物质上、精神上进入了现代世界．第二阶段从18世纪末至近代，这个时期数学最突出的事件是非欧几何的发现与关于无限的研究，这些成果后来成为相对论与量子力学的数学基础，这是人类思想的一个大的解放，提高与丰富了人的精神水平．每一次新的划时代的创造成果与新的重要数学分支的出现，都大大地促进了人类思想的解放，提高与丰富了人的精神水平．

第二，从自身的特征看，数学把理性思维发挥得淋漓尽致，提供了认识世界的最有力的工具．数学是向两个方向生长的，一个研究宇宙规律，另一个研究自己．探索宇宙，也研究自己——所达到的理性思维的深度，从逻辑性与理性思维的角度讲，是任何其它科学所不及的．数学提供了一种思维的方法与模式，不仅仅是认识世界的工具，而实际上成为一种思维合理性的重要标准，成为一种理念、一种精神．可以这么说，近代数学是逻辑的科学语言，数学这种语言与人类的语言已经成为人类认识与改造世界的两大重要武器，相互补充，相互促进．

第三，从和科学技术与文化的关系看，数学成为现代科学技术的基础之一，成为文化的一个重要组成部分．齐民友在《数学与文化》一书中用数学史的事实反复阐述了数学和科学技术与文化的关系．他列举了非欧几何与相对论、量子力学的关系之后，又分析了布尔代数、哥德尔定理、数学基础与电子计算机的关系，深刻指出，数学是人类全部技术的最重要的基础．他在湖北省数学学会1999年年会上作的报告《关于发展数学科学的一点看法》中，论述了新的世纪数学将起着重要的作用，指出数学很早就不限于应用到物理学、力学、传统的工业技术，不仅应用到生命科学、医学、经济学，而且还应用到许多新的分支．科学新的、综合的“粘合剂”正是数学．不但运筹帷幄要用数学，决胜千里也要用数学，生意的组织管理，股市行情都少不了数学．需要数学的人越来越多，需要数学的程度也越来越深，数学已经成了综合国力的重要因素，也成了在新时代里有无文化的重要标志．

1.3 数学的对象从人类的直接经验向“人类悟性的自由创造物”的转化以及数学发展的“竹子哲学”

齐民友在给朱永银等写的《组合积分法》一书的序中指出，数学是研究空间形式和数量关系的科学，它的产生和发展经历了由实践到理论、再指导实践的过程．这是对数学对象开始的总看法．在分析与论述19世纪到当代数学的发展的历史时，齐民友指出，非欧几何的出现是一个标志，到这个时期，人们才真正依靠自己的理性突破自己直接经验的束缚提出完全创新的理论和概念．数学对象在开始都是些非常具体的东西，但随着生产与社会的发展，数学研究的深入，各种抽象的对象也进入了数学研究的领域，如虚数、代数结构、四元数、矩阵、高维几何空间等，这些都是人们“完全自觉应用自己的抽象能力创造出种种新的数学对象”．因此，关于数学的对象的历史演进，他认为是“数学的对象从人类的直接经验向‘人类悟性的自由创造物’的转化”．

齐民友在《数学与文化》第二章第§4节数学——人类悟性的自由创造物？中，引用了恩格斯在《反杜林论》一书关于数学来源的一段话，并加以说明与阐述．他认为这中间最了不起的成就是数学的抽象能力，这也是数学对人类的重大贡献．齐民友指出，恩格斯说的“悟性的自由创造物”虚数，其实对于现在的高中生也没有什么神秘了．现在几乎每一个数学家都会提出某种“悟性的创造物”作为自己的研究对象，设计一套公理系统，推出种种结论．数学对象的这种转化与演进，既反映了人类理性思维的深度，又反映了数学发展的必然，同时，在更高层次、更广的范围、更新的前景上反映了自然界与社会数学范畴与形态方面的内在规律．

齐民友在多次作报告中，把数学发展用“竹子哲学”来比喻，数学好比竹子，它的根生在实践的土壤之中，然后一节一节地独立生长，长到一定的时候，会爆出新笋，产生出新的分支；长成熟了，它会开花结子，种子又重回大地，发展为全新的数学．这种比喻非常贴切、深刻，首先，数学来源于直接经验，或者说数学之根来源于自然界，但是，它在“一节一节地独立生长”时，暂时又脱离了“直接经验”，独立地开展理性思维，“惟有数学，时常是在理性思维感到有了问题时就要变”，这种变就是数学内部理论的矛盾运动，是理性思维与探索精神，并由此发展成为新数学分支的动力之一，新分支发展、成熟了，它又与其它学科知识结合，产生更新的数学分支．

齐民友在《数学与文化》中对数学发展还提出“参天大树理论”．他阐述道：“总之，数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的树叶，吸收阳光．它不断扩展自己的领域，在它的树干上有越来越多的鸟巢，它为越来越多的学科提供支持，也从越来越多的学科中吸取营养．它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的土地中，使它越来越牢固地站立．”研究者理解的是，“参天大树”是数学，“阳光”是实践与理论，“鸟巢”是新的数学分支，“学科”是数学中的分支与其它自然科学、人文社会科学等，“土地”不再仅仅是实践，主要指的是理性思维．这种强调理性思维的土地也是数学发展的来源之一，是符合数学发展历史事实的，也反映了数学区别于物理、化学、生物学等自然科学而独有的特点．数学的发展往往要依靠内部理论的矛盾运动，通过严密的逻辑推理，探讨出数学形态的抽象规律，这决不是“自由编造”的或“随意杜撰”的，而是会更深刻地揭示宇宙的规律．

1.4 直觉是数学思想的来源之一 数学思想方法是数学重要的基础与精华

齐民友对数学直觉与数学思想、方法在数学中的作用是充分肯定的，并有许多精彩的分析与阐释．

齐民友在《重温微积分》中指出：“从数学的教学和研究来看，我们还只能说，这么多世纪的数学发展证明了人们的直觉还是可靠的，需要的只是深入分析．直觉仍是数学的思想与理论的来源之一．”齐民友关于“直觉是数学的思想的来源之一”的论点，是建立在严格剖析数学发展规律基础上的，他认为数学的发展需要两个方面的工作，一个是严格的逻辑推理，另一个是几何直觉，两者缺一不可，且相互依存、相互补充与相互促进．

齐民友翻译了美国数学家尼达姆（Tristan Needhamam）著的《复分析：可视化方法》一书，他在译后记中对直觉、数学思想、方法等的地位与作用分析得很透，后来，在作了适当的补充之后，以《数学基础课是通向数学主流的门户》为题发表在《高等数学教学研究》2009年第1期上．齐民友在此文中介绍了著名数学家F·克莱因提出的数学的发展和教学有3个进程，即进程A、进程B和进程C．“进程A的特点是强调概念的明确性，逻辑上的无懈可击，方法的单纯性，逐步演绎，环环相扣，绝无不必要的引伸，总之，使数学成为严格的体系．其陈述方式则是：定义、定理、证明、推论，等等，每句话，每个式子都要有根据．进程B，这是克莱因特别推崇的进程，则强调数学概念的生成和发展，强调各个分支的相互联系，强调逻辑推理后面的直觉和物理内涵．其陈述方式则主张夹叙夹议，娓娓道来，生动活泼，发人深省．”齐民友肯定了这种进程的区分与探析，并作了深入的论述，他认为F·克莱因揭示的进程A与进程B相互切磋，相互补充的同时，突出了进程B的作用．而尼达姆从几何与物理角度审视问题，强调了几何直觉的一面，把“洞察力”放在严格性之前，使复分析理论与方法适合于可视化．齐民友指出：“必须从数学问题的直觉的经验的侧面去‘体会’数学，才能有真正的掌握，才能‘悟’出真谛．”这个观点与他多次强调严格的逻辑推理与几何直觉是推进数学发展的两个不可缺少的方面的论述是一致的．

齐民友在对译后记的补充中专门介绍了进程C．关于进程C，涉及到一种叫算法的方法，它与进程A，B或平行发展，或含于其中．“数学既然从形式上看是对符号进行的各种操作，则可以设想，符号本身有着其内在规律，也就是上面说的算法．研究这种规律与算法，自然是数学不可推卸的责任．”“克莱因的进程C的说法，至少会使我们感受到数学的思想、方法、技巧是何等丰富多彩，使我们的眼界放得更开些．”尽管前人在数学的思想，方法方面探讨不多，但其地位、作用却是非常大的，齐民友在这里认为那些“最为基础，影响又最为深远的思想、方法，等等，可以说是其精华．”这是个重要的结论，而且这个结论是他翻译尼达姆65万字的著作，以及雄视现代数学的全局与总结自己教学科研经历基础上提出来的，这使研究者感到非常亲切．作为数学家，他提出来的这个结论非常有力，数学思想与方法的确是数学的精华与最重要的基础．

齐民友在他翻译的《数学在19世纪的发展（第一卷）》（F·克莱因著）中译本序中对数学思想的范畴作了更广泛的理解，他认为：“真正重要的是要有思想，越深刻越好．克莱因这部书的一个特点是有突出的思想性，不仅他本人富有真知灼见，他对其他人的评论也是从思想角度出发，而且不止是评论个人的思想，还包括对一个时代的风格的评论，使您感到他评论的就是今天的事．”这里说的数学思想不仅是指数学知识本身概括总结出来的精华，就是通常所说的“知识的知识”，更指是数学家研究数学整体的思想性，是他们写的书表达的思想性与时代气息，是数学家群体或学派的哲学思想与研究风格．这些，当然是数学重要的基础与精华．

2 强调基础 重视创造 突出对探索精神培养的数学教育观

数学教育观是对数学教育整体的看法，是对数学教育的目的、地位、数学教学的规律与法则、数学教学方法、书本知识与实践的关系等问题的深层次的思考，属于数学教育哲学、数学教育学的范畴．齐民友的数学教育观可以用“强调基础，重视创造，突出对探索精神的培养”作出概括．

2.1 数学教育的目的有3个层次 特别突出了对探索精神的培养

齐民友提出数学教育的目的有3个层次：第一层次，是提供作为一个公民，想要参加任何一个行业工作必备的数学知识，即是作为当代人生活在社会中的必备数学训练；第二层次，是为了适应经济文化和科技的发展，数学作为进一步掌握某种知识的工具，其中包括升入高一级学校的准备；第三层次，数学作为一种文化，把数学教育作为提高人民文化素质的手段，数学在人们品质的形成上其作用是不可替代的（包括精神、思想、方法的培养），特别是在培养追求真理、热爱科学、为崇高理想献身的精神上的作用是巨大的．

齐民友的这些论述是非常深刻和全面的．他认为数学教育的目的，既包括知识层面的要求，又包括提高人的综合素质上的要求，既有获得作为一个当代社会的人所应该具备的数学知识，又包括追求真理、热爱科学的精神的培养．特别是后者，是他反复强调应该重视的．他在《美国数学教育改革的一点联想》一文中对这一点阐述得更详细，在分析了美国数学教育现代化改革中，关于“新数学”运动的争论的历史后，联系中国数学教育的实际，他指出：“美国数学教育改革很注意使之与科技经济的进步相联系，并使之对社会进步有推动作用，这一点很值得我们学习．但另一方面，争论的双方对于数学在人的素质的提高上都讲得很少．这自然与教育思想的根本着眼点有关．美国教育一向强调‘实用’，使学生能在未来得到一个好的工作，并且胜任工作．中国教育方针则出发点在人，在培养合格的社会主义现代化的建设者和接班人，因此必须认真探讨数学在形成青少年的素质上的作用．首先是通过数学教学和学生自己的创造活动培养热爱科学，追求真理的精神．”“数学教育在形成人的素质上一个不可代替的作用是科学方法的培养．这是数学教育的一个不可代替的功能．”这里，他突出了数学教育在培养热爱科学，追求真理的精神和科学方法涵养的功能．

从齐民友关于数学教育的目的的论述中，就可以看出他倡导的“强调基础、重视创造、突出对精神的培养”的数学教育观．必备的数学知识与必备训练指的就是数学基础知识与基本训练，是基础性的，必须反复强调；重视创造与培养精神，则是在教师的教学活动与学生自己从事创造的实践中才能实现的．

2.2 要转变观念 认为基础教育的数学教学方法“3个方面必须兼顾”

齐民友在多本著作中，有一个一直坚持的论点：深化数学教育改革就要转变观念，认为数学教学方法“3个方面必须兼顾”．

他在《世纪之交话数学》一书中用了整整一章，即第九章“根本在于教育”论述了数学教育问题，这中间用了较大篇幅谈“转变观念”．他看到数学教学中实行题海战术，偏题难题如潮水汹涌，各种补习班，各种家教，名目繁多，层出不穷，青少年的身心健康受到严重的伤害，很为痛心．认为改变这种现状，首先必须转变观念．齐民友指出：“我们的教育的根本出发点与归宿就是人，就是提高人的素质．所以，我们的教育只能是素质教育．”“确实要转变不利于社会发展，不利于青少年成长的教育观念．”如数学教育是面向所有的学生，而不是为了少数人；数学教育不能推向市场，而要按自己发展与学生认识的规律办事；数学是科学的工具，同时也是一种文化，是提高人的素质的重要手段；应该处理好初、高中数学升学复习与深化数学教育改革的关系等等．要花极大的力量转变旧的观念，逐步树立素质教育的新观念．

关于基础教育教学方法的研究，齐民友认为“3个方面必须兼顾”．第一，必须同时兼顾基础训练与学生认识规律．应该理直气壮地同时又是合情合理地强调基础训练．数学中最基本的东西，该记的就要记，该背的就要背．没有这个基础，一切数学教育都根本无从谈起．这中间真正要注意的是，一个要符合青少年的年龄特征，符合中国社会文化的情况；另一个是不能停留在这一步．第二，必须同时兼顾已经完成了的数学与正在创造中的数学的不同特征与要求．数学虽然有着严格的逻辑结构体系，但这是指完成了的数学，而正在创造之中的数学并不是这样．数学教学应该实行启发式，常常由特殊到一般，进行必要的归纳与类比，对可能的结果作初步猜测，而且不断寻找并改正错误，可对已有的结果作由此及彼、由表及里的讨论与改进，通过联想进行比较、推广等．“这种教学方法的核心是激起学生们的创造欲望，把解决数学问题作为一个创造过程，而学生们只有在创造的过程中才能提高自己创造的能力．”第三，必须同时兼顾数学知识与逻辑训练的要求．仅仅有归纳、类比等是远远不够的，应该在逻辑训练方面有具体要求．对学生们的要求，至少在表述自己的结果时，必须符合逻辑的要求．要解决的是什么问题，解决这个问题时所给的条件是什么，最后的结果又是什么．关于这一点，齐民友在另一篇文章中指出：“我是主张在中学阶段对学生进行适当的数学推理方法的训练的，而且也认为它是体现了一种理性主义的精神，正是应该提倡的．”

关于数学竞赛，齐民友很早就发表过很好的看法．他认为数学竞赛面向的是少数对数学有浓厚兴趣、基础较好的青少年，而不是让大多数学生去参加培训，被动、强制地去学．对社会上把数学竞赛成绩与升初中、升高中挂钩，他是不赞成的．1997年8月29日长江日报下午版报导了齐民友教授在“奥赛”表彰会上的讲话，他当时就指出：“能在‘奥赛’这样的全球性较量中获奖，表明这些孩子的素质实有特殊之处．但同龄人中最终拿诺贝尔奖的，却不是他们．因为一个成熟的科学家，必需具备多方面的素质．”“长期不重视‘奥赛’成绩的美国，却拿走了近年来的大部分诺贝尔奖，因为诺贝尔奖是一个国家综合科技实力的反映．能在‘奥赛’上获奖的毕竟只是个别学生，而一个国家综合科技实力的提高，要靠全体国民的素质的积累．”齐民友以后多次发表这样的看法，事实证明他的看法是正确的．

2.3 向大师们学教基础课 注意基本思想和关键细节及结果前景的阐释

关于大学数学课程教学，齐民友鲜明地提出“向大师们学教基础课”的观点．

2006年10月，在武汉大学召开的大学数学课程报告论坛上，齐民友应邀作了《向大师们学教基础课》的报告．报告之前言的引语是物理学家费曼的经典语录：“首先要弄清为什么要让学生学这个主题，您想要学生知道些什么，而教的方法多多少少会来自常识．”在报告中，齐民友花了较大的篇幅，详细地介绍了费曼通过实际推演与阐释，探讨万有引力定律如何发现的，努力做到了真正关心学生，把物理学的精华交给学生．在报告的最后，专门讲了一节“向大师们学习什么？”在这节中，他全面而深刻地阐述了自己“注意基本思想、关键细节及结果的前景的阐释”的数学教育思想．

第一，既注意推导，更注意基本思想的介绍．齐民友指出：“教数学不可能没有推导，但是，更要注意基本思想的介绍．要使得基本思想与具体推导紧密地结合起来．”很多情况下是教师自己没有真正掌握基本思想，因此在授课中，具体的计算与思想的阐述互相分离．作为一个教师，应该让学生理解、掌握与应用基本思想．如齐民友在《现代偏微分方程引论》引言中谈到微局部分析这个偏微分方程的分支时，强调微局部分析就是一种观点、一种思想、一种方法，它的出现使整个线性偏微分方程理论改变了面貌．第二，注意细节，尤其是注意关键细节．任何一门学问，必须是由细节构成的，其中关键细节是掌握概念、定理、法则等的核心，因此攻克关键细节是最为重要的．应该从始至终去寻求关键细节的解法．不应该看不起具体的推算，“正如一些数学家一再强调的，数学是‘算’懂的，而不是‘看’懂的”．推导、计算、解法等其实是解决数学问题的“手艺”，而掌握这种“手艺”，则需要长期艰苦的努力．第三，不仅是看到当前的结果，而且注意这些结果的前景．教微积分，就要注意它的发展与变化，从而我们的教学也随之变化．齐民友指出，如果有朝一日微积分停止了发展，得到例如今天欧几里得几何那样的地位，又一定会有新的东西取而代之，我们又得面对那一个蓬勃发展的新科学，还得不断改变自己的教学与之适应．基础课说难教就难教，难就难在这里．联系前景进行教学，还应结合本人的实际，具体选择，如有人重于分析，有人重于几何，有人重于自己认为有前途的某些问题，只有充分发挥专长，才会奏效．

齐民友在自己漫长的教学生涯中就是努力这么去做的．文章作者之一曾是武汉大学数学系的学生，在20个世纪60年代初学的《数学分析补充》课（现在叫数学分析2），就是齐先生教的．记得是每周4节课，上一个学期，内容包括实数理论、极限理论、定积分理论、无穷级数收敛理论、隐函数理论等．齐先生讲课的特点是讲重点，讲要害，语言简练有力、引人入胜，生动中有严谨，比喻中有严格．听齐先生的课你很快会着迷，再往下听，感到回味无穷．他特别注重对数学思想的揭示，对关键之处思路的剖析与推演非常过细，要求非常严格，如实数的分划，“”、“”语言，定积分的两个任意（区间的任意分划与点的任意选取），一致收敛的概念与性质等，一定要牢固掌握．他反复强调数学分析在数学中的基础地位，掌握好这些内容将会终生受益．后来的历史事实证明，真的是让人终生受益．齐先生用自己上课的实践，证明了他就是向大师们学教基础课的最好范例．

2.4 提出“在创造中学会创造 创造性地去教与学”并重视对优秀人才的发现与培养鼓励他们不断探索与创新

“在创造中学会创造，创造性地去教与学”是齐民友的一贯主张．他在1989年就提出；“只有在创造的过程中才能学会创造．创造性地去教数学或学数学，与被动地、刻板地去教和学是完全不同的．”以后，多次提出并强化这个论点．1997年他在讲到G·波利亚的数学思想时，说道：正如Ploya所说：解一个题目就是一种创造，解一个大一点的问题就是大的创造．只有在创造过程中才能学会创造，既然要培养学生的创造能力，又不去实际创造，这是不行的．他在多次报告中强调，应该给学生更多的时间和空间，让他们去探索数学的奥秘，而不仅是接受有限的知识．他认为，教和学实质上都是一种再创造的过程，希望学生学会创造，可能最好的办法就是看一下大师们是如何创造的，然后自己体验、摸仿，终于自行创造．这就清晰地指出，教和学实质上都是一种再创造的过程，因此，应该让学生通过自己体验、摸仿、创造，在实践中学会创造．

2009年齐民友在西南大学以《基础课教学与创新精神》为题作的报告中，以日本数学家小平邦彦的教材为例，比较全面地阐述了他的“创造地教与学”的数学教育观．齐民友指出：“应该从教学活动的内在特点来理解如何培养学生的创造性．创造性不是‘教’出来的，而是在整个教与学的全过程中自然形成，或者说，熏陶而成的．”齐民友对创造的概念、性质、动力与过程都作了简明的阐释，他认为，创造性宁可说是一种心理素质，一种为人处事的态度或者习惯，是一种最为宝贵的素质．创造始于不满足，始于否定，创造始于自信，创造始于脚下的每一步．创造成于从心所欲不逾矩．

小平邦彦如何创造性地做好基础课教学的呢？齐民友仔细分析了小平邦彦教材的3个特点：其一，抓住了数学内容的不断发展的实质，而不是把它看成固定不变的，不可逾越的，也不停留在形式推导的表面上；努力建立数学各个部分的发展和相互联系，而不是把作为一个整体的数学过度地划分为互不相关的“分支”；其二，提供了许多问题新的处理方法，使我们不会误认为“数学（具体地说：微积分）”只能有我们熟悉的那一种理解，那一种讲法；其三，体现了高度的个性，正如小平邦彦可以“反常人之道而行”，我们也可以“反小平邦彦之道而行”．没有多样性，就没有创造性．应该鼓励教师和学生走自己的路．总之，一方面要去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里达到对数学的规矩的认识，做到中规中矩，另一方面，可以根据自己的具体情况以及学术上的爱好、习惯、长处与短处等等来教好（或学好）一门课程，从中得到对于数学科学的真意的理解．综合这两个方面，就是前面说的“从心所欲不逾矩”．因此，齐民友认为，从这个意义上说，教与学都是一种“再创造”——从创造中学创造．

齐民友非常重视对少数优秀人才的发现与培养，他指出：“数学是为个人才能的发挥提供了最充分场所的学科之一．优秀人才的出现对于数学的发展有着特殊的意义．”“要在中国发展数学科学，就必须特别重视优秀人才及时的发现与培养．”他认为希望寄托在年轻一代身上，他积极引导学生们尽快进入科学前沿，鼓励他们不断探索与创新，始终把创造性与深刻性作为最重要的标准．2007年4月在武汉大学举办的“大学数学教育珞珈论坛”上，他就讲道，“数学最重要的就是idea，我们应该让学生往前走．教育保底，但是决不封顶．应该给学生更多的时间和空间，让他们去探索数学的奥秘，而不是仅接受有限的知识”．

齐民友总是要求他的学生们注意科学发展的规律和趋势，学习国际最新、最先进的理论，并与时俱进，迎头赶上．作为数学家、博士生导师，齐民友对培养优秀的数学人才倾注了全部的身心与精力，他先后指导硕士生、博士生、博士后数十人．在现代偏微分方程研究领域里，齐民友为国家培养出了一大批高级专门人才，如徐超江、陈化、王维克、李先清、汪更生、陈群、陈文艺、邓引斌等，现在他们在不同的偏微分方程研究领域，已成为一批活跃在国际、国内学术舞台上的数学家．他善于因材施教，重视“学术个性”的培养，尽量发挥他们的兴趣与专长，并取得明显的效果．如博士生陈建华喜欢研究数论，齐民友不光不去阻止他，而是为他提供指导与帮助，后来，陈建华在数论方面做出了很好的成绩，现已成为密码学领域有成就的专家，曾以第一完成人荣获国家密码科技进步一等奖．又如支持和鼓励博士生王桥发展自己的研究兴趣，去学习小波理论和信息论，现在，王桥已是东南大学无线电系教授，成为了一名通讯工程方面的优秀专家．

从上论述，可以看到，齐民友的数学观与数学教育观有着开拓的视野、独特的论点、丰富的内容与精辟的阐述，是数学哲学与数学教育领域的一笔宝贵财富，值得研究者们进一步去学习、探讨与研究．

[1] 齐民友．数学与文化[M]．长沙：湖南教育出版社，1991．

[2] 齐民友．世纪之交话数学[M]．武汉：湖北教育出版社，2000．

[3] 齐民友．重温微积分[M]．北京：高等教育出版社，2004．

[4] 齐民友．数学基础课是通向数学主流的门户[J]．高等数学研究，2009，（1）：7-8，10．

[5] F·克莱因．数学在19世纪的发展（第一卷）[M]．齐民友译．北京：高等教育出版社，2010．

[6] 齐民友．美国数学教育改革的一点联想[J]．武汉教育学院学报，1997，（增刊）：7-8．

[7] 齐民友．从徐光启的两篇短文谈起[J]．数学通报，1999，（12）：5-6．

[8] 齐民友教授表彰会上说“奥赛”获奖理当祝贺，目的须弄正确[N]．长江日报，2007-8-29，下午版（1）．

[9] 齐民友．向大师们学教基础课[A]．大学数学课程报告论坛论文集[C]．北京：高等教育出版社，2007．

[10] 齐民友，徐超江，王维克．现代偏微分方程引论[M]．武汉：武汉大学出版社，1994．

[11] 郑隆炘．形象·灵感·审美与数学创造[M]．武汉：湖北教育出版社，1990．

[12] 转引http://blog.sina.com.cn/s/blog_54a2cbcf0100fz31.html

附注此文写完后，曾通过邮箱发给齐先生，齐先生回了信．现按先生的要求把他的意见附在文后：“谢谢您的好意写了这一篇文章．我没有打算再“补正”什么了，因为作这样的补正、就无异于承认我真有什么值得别人去写的‘思想’．‘思想’（包括‘数学思想’）是大字眼．够格让人说有什么思想的人不多，我肯定不在其列．如果在我和师友的涉及数学的交往中，能够使人去思考有关数学的问题或‘思想’，这既是我作为教师的职责所在，也是我的愿望．我唯一能够借此机会向大家提的建议，是去读一下真正有资格谈得上思想的人的著作，或者听一下他们的教课，甚至更密切的接触，只不过这样的机会不是太多．如果您这篇文章真要发表的话，请把这封信的意思加进去．祝春节愉快．齐民友，2013年01月22日 08:52”

[责任编校：周学智]

On QI Min-you’s View of Mathematics and Mathematics Education

ZHENG Long-xin, BA Ying

(Department of Mathematics and Computer Science, Jianghan University, Hubei Wuhan 430056, China)

QI Min-you is a famous mathematician and mathematics educators. He has expounded his profound and original opinions on some important issues in the field of mathematics and mathematics education. Based on the study of these opinions, this article summarizes Qi Min-you’s view of mathematics with science, philosophy and rational spirit, as well as his view of mathematics education which follows these principles: strengthen the foundation, emphasize on creativity, focus on exploration spirit cultivation.

QI Min-you; view of mathematics; view of mathematics education; rational spirit

G40-09

A

1004–9894（2014）04–0007–06

2014–03–05

郑隆炘（1941—），男，安徽旌德人，教授，主要从事微分方程稳定性理论、数学方法论与数学教育的研究．