一种新的杜芬系统数学模型

韩建群，田 莹，刘 严

HAN Jianqun,TIAN Ying,LIU Yan

渤海大学 工学院，辽宁 锦州 121000

College of Engineering,Bohai University,Jinzhou,Liaoning 121000,China

1 引言

众所周知，能够产生奇异吸引子的动力学系统很多，主要有Lorenz系统[1-4]、Logistic映射[5-7]、Henon映射[8-10]和Duffing系统[11-15]。确定性杜芬（Duffing）方程是G.Duffing在19世纪研究机电系统时提出的力学模型，后来一直作为非线性动力学、特别是混沌研究中的一个范例，在刘华杰所著《分形艺术》中曾指出：日本京都大学上田皖亮研究此方程达三十多年，并且他发现微分方程中蕴含的混沌要比洛仑兹（Lorenz）更早，这一情况可以通过他的著作《通向混沌之路》得知。另外，他于1978年使用非线性电感、电容加上正弦电压构成非线性电路进行仿真试验，发现了方程 x¨+kx˙+x3=rsin(ωt)所描述的非线性电路中的混沌现象，开辟出一条从准周期进入混沌的道路。

随着对混沌理论不断地深入研究，混沌系统广泛应用于诸多科学技术领域，从强噪声背景中提取微弱有效信号是一个混沌应用的重要发展方向[12-14]。从文献[12-16]研究对象来看，目前对Duffing方程的研究都是采用二阶微分方程的形式或状态方程的形式，本文通过对Duffing方程非线性恢复力进行变量分解定义，建立了三阶Duffing状态方程，该方程有助于将Duffing方程中非线性变量信息分解出来。

2 三维Duffing系统模型建立

Duffing方程是表示混沌行为的最简单系统之一，它可以描述许多不同的物理系统，文献[15-16]给出的Duffing系统可以由下面的状态方程（1）描述：

其中，rcosωt是内置信号，k为阻尼系数，x-x3为非线性恢复力。传统的Duffing系统的研究常采用二维方程式（1）的形式，这样一般只能考察二维信息，本文拟通过改变方程式（1）的维数并建立与其等效的三维的Duffing状态方程，从而可以得到有关Duffing系统更多更直观的信息。

式（2）积分结果为：

方程式（3）中c是由系统初始状态确定常量。当Duffing系统初始状态 x(0)=0和 z(0)=0时，c=0。这里式（3）可以由式（1）中的第二方程式通过变量分解得到。但是通过定义微分方程式 z˙=3x2y，可以建立与方程式（1）等效的三维Duffing混沌动力系统式（4）。

如果Duffing混沌动力系统初始状态 x(0)≠0和z(0)≠0那么存在c≠0。通过上述变量的定义，并引入变量 b，方程（1）可以修改为方程（5），方程（5）是方程（4）的一般形式，需要调整变量b的值来抵消c的影响。

3 系统仿真

由文献[13]可以知道，在一定条件下，Duffing动力系统中，r k与ω关系在平面上存在两条界带状区域，当在该区域内取值时，系统状态是混沌的。在本文中，当取k=0.5，ω=1时，策动力存在边界值rd=0.84；当取r=kd时，系统不是混沌的，这时系统处于临界状态。当策动力幅值r＜rd时，系统才进入混沌状态，本文取参数r=0.72，采用MATLAB数学仿真软件中的SIMULINK工具箱，根据方程式（5）建立仿真模块图1。

图1 三维Duffing系统仿真结构图

当系统初始状态取 x(0)=0、y(0)=1、z(0)=0、b=0，即仿真系统方程式（4）的情况。当采用二维Duffing系统（1）进行仿真时，产生混沌相图2，当采用基于方程式（4）的三维Duffing系统进行仿真时，产生混沌相图3，图4、5、6是图3在 xoy平面、yoz平面、xoz平面上的投影。观察图2和图4，可以看出三维Duffing混沌系统相图与二维Duffing混沌系统相图在xoy平面是相同的。图5和图6是在三维Duffing混沌系统中才出现的结果。

图2 二维Duffing混沌系统相图（x（0）=0、y（0）=1）

图3 三维Duffing混沌系统相图（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=0、b=0）

图4 三维Duffing混沌系统在xoy平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=0、b=0）

图5 三维Duffing混沌系统在yoz平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=0、b=0）

本文所提出的基于三维Duffing混沌系统式（4）进行仿真的方法要求系统初始状态满足x(0)=0和z(0)=0条件，否则系统状态可能是非混沌的。图7就是当系统（4）初始状态 x(0)=0、y(0)=1、z(0)=2时系统相图，可以看出系统不是混沌的。这里令系统方程式（5）中的变量b=2，即仿真系统方程式（5）的情况，系统相图如图8所示，可以看出系统是混沌的。即通过调整变量b，可以抵消初始状态对系统状态的影响，保持系统处于混沌状态。

图6 三维Duffing混沌系统在xoz平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=0、b=0）

图7 三维Duffing混沌系统在xoy平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=2、b=0）

图8 三维Duffing混沌系统在xoy平面上投影（x（0）=0、y（0）=1、z（0）=2、b=2）

4 结论

本文首先运用数学方法证明了二维Duffing系统转换为三维Duffing系统的可行性，然后从实际仿真的结果上，给出了三维Duffing系统的状态，因此比较直观，能够展现更多的有用信息，并且该三维Duffing系统与二维系统在一定条件下是可以等效的。本文确定的三维Duffing系统值得在今后的混沌控制和保密通信研究中深入探讨。

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