对初、高等数学教与学衔接的探讨

2014-04-02张慧慧周小媚

上饶师范学院学报 2014年6期

张慧慧，周小媚，余　芳

(1.上饶师范学院，江西上饶 334001；2.上饶市上饶县田墩镇黄市枣山小学，江西上饶 334125;3.上饶市信州区茅家岭中心小学，江西上饶 334116)

引言

众所周知，人类社会的进步，与数学特别是高等数学的广泛应用是分不开的。高等数学已深入地渗透到了社会科学领域，成为许多学科门类中必不可少的工具。因此高等数学在各高校的基础地位也越来越受到重视，高等数学已经成为国内外大多数高校理工科的必修课。然而近年来，笔者通过教学实践以及和其他教师进行交流，发现高校中非数学专业的学生高等数学的学习效果并不理想，大多数学生反映高等数学难度太大，难以理解，从而难以下手。这必然会影响他们在专业课程中的学习。

在课堂及课后调研中，学生们普遍认为从初等数学的学习过渡到高等数学的学习时，学习方式和内容的不同都让他们觉得“不适应”，即初、高等数学的教育衔接出了问题。固然高等数学有其自身“难度较大"的特征,但是如能从初、高等数学的衔接问题上入手，对学生学习高等数学作一铺垫，将对他们顺利从初等数学的学习过渡到高等数学的学习，进而学好高等数学大有裨益。

作者查阅相关研究资料，通过调研学生及课堂观察等方法，结合日常教学实践，对初、高等数学教与学的衔接问题进行初步探讨，总结出以下三个不衔接和两个不适应。

1　初、高等数学不衔接的表现

初、高等数学的教学衔接问题已经受到了数学教育工作者的高度重视。2003年3月，教育部颁发了《普通高等中学数学课程标准》，新教材中加入了大学课程中的一些基本概念、基础知识和思维方法。这对于学生顺利从初等数学的学习过渡到高等数学的学习是非常有益的。然而，初等数学与高等数学的衔接中还存在不少问题。学生之所以觉得高等数学难学，首先是由于初、高等数学的部分内容不衔接。这种不衔接主要表现以下三点：

1.1　有些内容是高等数学学习需要具备的基础内容，但初等数学却未涉及。

1.2　有些内容初、高等数学中都有涉及，但内容表述有较大区别。

在高等数学教学工作中还发现一个问题: 初等数学中某些概念和定义比较模糊，有时甚至同一个概念在初、高等数学中定义不一致。比如曲线的切线，在高等数学中将曲线切线定义为曲线割线的极限位置，而初等数学中将曲线切线的定义则是与曲线存在且仅存在一个交点的直线。再比如对数列极限的表述，初等数学只是粗略给出了其描述性的定义，即“如果当项数n无限增大时，无穷数列{xn}的一般项xn无限地趋近于某一个常数a，那么就说a是数列{xn}的极限”。而高等数学中对数列极限的定义则是“设{xn}为一数列，若存在常数a，使得对任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正整数N，当n>N时，总有|xn-a|<ε，则称a是数列{xn}当n→∞时的极限”。在这些不同的表述中，显然高等数学中的表述更为严谨，但对非数学专业的初学者来说也更加难以理解和接受。这容易给学生认识上造成误区，以为高等数学中这些内容刻板而无聊，是在“钻牛角尖”，从而心理主观上对这些内容的学习产生抗拒。这些问题就需要我们在初等数学教育中适当引入高等数学教育背景，尤其是注意这些表述“不一致”的概念，提前告知学生初等数学中的描述性定义是为了更易理解，但事实上真正的定义在以后的高等数学学习中会给出。以更加准确、系统的数学知识结构规范初等数学教育工作。

1.3　有些内容在初、高等数学中表述内容一致，但这恰好也是它们不衔接的表现。

这些内容乍一看在初等数学和高等数学中都有涉及且表述一致，好像是衔接的一种表现。但这种重复其实反映了初、高等数学体系的另一种“不衔接”。比如关于一元函数求解极值和最值问题。利用一元函数的导数及其增减性列表来研究极值和最值问题这种方法在初等数学中十分常见，而高等数学中也有相当的篇幅讲述同样的内容，事实上，正是这种“重复”，使得一些学生在学习高等数学的时候对“重复部分”觉得太容易，而其他在初等数学中并未涉及的内容又让他们觉得太难，这样反而让他们掌握不了学习的“度”，徒增不必要的思维障碍。因此初、高等数学应该对各自的内容体系进行细致地、系统地研究，争取建立两者的有机统一完整的体系。

2　师生在高等数学教与学中的不适应

除却以上初、高等数学不内容的不衔接外，以下两个方面的不适应也使高等数学的教与学变得尤其困难。

2.1　学生对老师教学方式的不适应。

初等数学的学习中，教师讲述某个内容后，一般都要求学生反复练习，不断巩同，直到掌握。而高等数学特别是非数学专业的高等数学内容多，课堂时间有限，这使得大部分高等数学老师只能抓住主线，提纲挈领地讲述，接受学生反馈的时间少，从而不能有针对性地反复强调。这使得不少学生不适应这种教学方式的转变；另一方面，非数学专业学生高等数学的授课老师一般都出身于数学专业，对所教学生所在的学科了解较少。这样就教学就没有针对性，所教学生不能认同高等数学在其专业中的用途，从而潜意识中觉得学而无用；再加上高等数学课程起点高，难度大，特别是文科出身的学生，数学基础不好，他们更加觉得花这么多精力去学这么难的高等数学，还不如多花点时间在专业课上面，因此让专业课挤占了原本属于高等数学教与学的时

间。另外，老师如能多了解一些高等数学在其他专业应用中的实例，或结合社会热点问题给出高等数学方面的解释和应用，或在讲解某些知识时首先介绍相关研究背景，那将大大提升学生学习高等数学的乐趣，从而通过兴趣这一最好的老师引导学生投入高等数学的学习中。老师善于调动学生的学习兴趣必将使初、高等数学的衔接更加容易。比如在讲解“n维向量空间Rn”这一概念时，在概念讲解结束后，可以举例指出n=1时就是初等数学所学习的实数集合R，n=2时即为初等数学中所学习的可以用二维直角坐标系来度量的二维平面R2，n=3时即为初等数学中所学习的可以用三维直角坐标系来度量的三维空间R3。这将消除学生的“畏难”情绪。再比如在介绍无穷级数时，传统意义上讲述时都是列举一些具体数列说明无穷级数的和可能存在、不存在来引入。此时如果能引入些测度论的知识，让学生注意线段是由无穷多个点组成的，点的“长度”当然是0，但是这无穷多个“0”加起来的长度却可以是任意线段的长度，即可以是任意实数。利用这一看起来“匪夷所思”的生活实例来引起他们对学习无穷级数的和的问题的关注，这样一来学生对无穷级数的和的兴趣将大增，学习效果也将有所提升；另一方面也告知他们教材上没有指明的事实——即要求学生学习的无穷级数事实上是“可数的”无穷多项相加。

2.2　学生对学习思维和方式的转化不适应。

初等数学的教学方式以灌输为主，进度慢、理论深度不高，学生在教师讲述某个内容后，一般都有机会反复练习巩同，直到掌握。这种习惯使得经历漫长中学学习生涯的学生对老师产生依赖，缺乏必要的独立自学精神。而高等数学课程起点高，抽象性强，讲授速度快，难度大，教师只是提纲挈领地讲述，课后交流辅导也没有中学那么多。学生不能适应这种学习方式从被动转换为主动的过程，也因此觉得高等数学难度太大。但是学习不是简单地由教师把知识传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程．学生不是简单被动地接受信息，而是主动地建构知识。因此有必要针对性地提示和帮助学生把学习思维和方式转化过来。

3　初、高等数学不衔接的解决办法

针对上述现象，结合教学实践，作者初步探索了其解决办法。

3.1　对教师提出了更高的要求。

教师必须具备足够的能力和教学技巧。要掌握具体的教学技巧(如讲解、讨论、引导学生自主学习、合作学习等)，并有足够的能力来组织课堂体系，调动学生的积极性，解决课堂问题。重点在于教师应该学会如何运用技巧去引导和激发，而不是支配学生的思维。这就要去深入研究高等数学教材，并熟悉初等数学教材，理清其中最基本的思想和方法，融入自己的思考努力寻求初等数学和高等数学的合理结合点。

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老师要对每一个知识点都有深刻的认识，熟悉其数学背景知识，熟悉相关的经典例题和练习题，最好能熟悉生活实例。讲解内容要前后融会贯通，构建合理的知识结构，帮助学生建立良好的数学认知结构。比如高等数学中的微分法是初等数学中没有的，老师在讲解这一全新内容时如果能结合其背景知识，学生在学习过程中就不会有“突如其来”的感觉。比如讲解微分法时，可以先讲述其研究背景。微分方法的提出源于速度、切线和极值的研究。意大利数学家托里切利( E.Torricelli) 根据他的导师伽利略对做斜抛运动的物体运动轨迹的切线(即合速度)的分解，对切线作了进一步的研究，得出了适用于力学的微分方法。费马则把这一方法推广到普遍情形。在《求最大值和最小值的方法》一文中，他做出了求切线的方法，他的方法是在现代有着广泛应用的微分法的鼻祖，只是还没有提炼出极限概念。

3.2　引导学生主动学习可以从以下几个方面入手。

3.2.1有计划地设置学生预习自学环节。老师针对教学内容，选取合适的部分制定计划，要求学生独立或组成小组针对该内容进行准备和展示。准备环节可以参考教材或查阅资料等，展示环节可以是传统的课堂讲解，也可以制成课件利用多媒体资源进行。并要求至少两组同学展示成果(时间允许可以多组)。最后老师针对不同组的优缺点进行总结，并把学生展示内容中不正确或不完善的部分进行纠正。最大限度调动学生积极性。

3.2.2适当地把课堂交给学生。很多问题特别是较难理解的问题，其答案和思路不只是老师讲出来的，更

加是学生自己领悟出来的。因此老师有责任创造一个良好的课堂氛围，给学生一个展示自我才能的舞台，启发学生与学生之间或学生与老师之间进行讨论交流学习。这样不仅点燃了学生学习的热情，更加深了学生对高等数学的理解，提升了学生学习高等数学的效率。

3.2.3课后给学生布置一些应用性强的，具有挑战性的研究性作业，激发学生对高数的学习兴趣。比如让学生利用微积分以及函数的知识做有关股市或金融市场的一些调查研究，或者完成一个预测人口增长的模型。这些贴近生活的作业，会使学生体会到高数与生活息息相关，从而更愿意去学高数。

3.3　教材的选取也是关系到能否顺利衔接的要点之一。

不同专业的学生对高等数学有着不同的要求．教师应该根据高等数学教学大纲要求，选取合适教材，适当安排教学内容，把握教学大纲，同济大学的《高等数学》内容丰富，严谨，体系完整．但是，它也有内容多、知识难、题量大等特点，学生自学比较困难，对于经济、农业、管理等专业的学生不太适合。因此教师要选择根据所教专业的高等数学教学要求选取适当的教材作为辅助，并选择合适的例题和习题。