多线性极大函数在加权Morrey空间中的有界性

喻　晓，饶贤清

(上饶师范学院，江西 上饶 334001)

引言及主要结论

1975年，Coifman和Meyer在[1]中首次引入了多线性C-Z理论。2002年，Grafakos和Torres在[2]中系统地研究了如下形式的多线性奇异积分算子：

定义1[3]如果一个局部可积函数ω(x)满足如下不等式:

其中1

另一方面，Morrey于1938年在[5]中引入了以其姓氏命名的Morrey空间Mp,λ，其定义为

1　本文主要引理

在给出定理1的证明之前，我们先给出一些证明过程中需要的引理。

如果一个函数ω满足ω(2B)≤Cω(B)，其中B为任一方体，C为和ω以及B无关的常数，则我们称ω满足倍测度条件，简记为ω∈△2。

引理1.1.[8]如果ω∈Ap(1

引理1.2.[8]如果ω∈△2，则存在大于1的常数C,使得ω(2B)≥Cω(B)。

引理1.3.[9]如果ωi∈Ar,r为大于1的实数，则对任意的B⊂Rn，我们有

这里C为一个和B无关的常数。

根据引理1.3，我们注意到如果ωi∈Ar(r>1)，则我们有

(1.1)

2　定理1的证明

引理2.3.假设0

其中C是一个和f无关的常数。

∶=I1(x)+I2(x).

这里Σ′代表其通项中至少有一个α1不等于0。

首先我们给出I1(x)的估计。根据引理2.2，引理1.1以及 (1.1)，我们有

接下来我们估计I2(x)，首先我们考虑α1=α2=…=αm=∞这一情形。则对任意的x∈B=B(x0,R)以及B⊂3D，我们有

并且根据引理1.1以及1.2，有如下不等式：

于是根据(1.1)，可得

故有

(2.1)

最后只需讨论的情形为：αi=αi+1=…=αj=∞,{αi,αi+1,…,αj}⊂{1,2,…,m}。不失一般性，我们仅仅考虑α1=∞,α2=α3=…=αm这种情形，因为其余的情形和这种情形类似。综合前面两种情况的估计过程，我们有

于是根据Holder不等式以及(1.1)，有

(3.2)

定理1的证明：最后，我们将给出定理1的证明。由于ωi∈Ar，我们有

至此我们完成了定理1的证明。

参考文献：

[1] Coifman R.，Meyer Y., On commutators of singular integrals and bilinear singular integrals[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1975,212:315-331.

[2] Grafakos L., Classical and Modern Fourier Analysis[M].Prentice Hall (2004).

[3] Muckenhoupt B., Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function[J]. Trans. Amer. Math. Soc.1972,165:207-226.

[4] Lerner A.K., Ombrosi S., Perez C. et al., New maximal functions and multiple weights for the multilinear Calderon-Zygmund theory[J]. Adv. Math., 2009,220:1222-1264.

[5] Morrey C.B., On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential euqations[J]. Tran. Amer. Math. Soc., 1938,43:126-166.

[6] Komori Y.,Shirai S., Weighted Morrey spaces and a singular integral operator[J]. Math. Nachr., 2009, 282:219-231.

[7] Wang H.,Yi W.T., Multilinear singular and fractional integral operators on weighted Morrey spaces[J].Funct. Spaces Appl., 2013, Article ID 735795.

[8] Grafakos L., Torres R.H., Multilinear Calderon-Zygmund theory[J].Adv. Math.2002,165:124-164.

[9] Xue Q.Y., Yan J.Q., Multilinear version of reversed Holder inequality and its applications to multilinear Calderon-Zygmund operators[J]. Math. Soc. Japan,2012, 64:1053-1069.