关于素环导子的几个定理

于 宪 君

(哈尔滨商业大学 基础科学院，哈尔滨150076 )

1 引 理

自Posner 在文献[1]中讨论了素环和半素环上导子的几个问题后，关于素环和半素环上导子的研究，一直是环论中一个引入注目的课题．许多人在这方面进行了研究.1957 年Posner 首先证明具有中心化的非零导子的素环一定是可换环， 1984 年Mayne 在文献[2]中推广了Posner 定理，讨论了对任意x∈I均有[x，d(x)]∈Z的情况.1994 年在文献[3]中又讨论了任意的x∈I均有[x2，d(x)]∈Z的情况，最近文献[4]和[5]讨论了[x，d(x2)]∈Z情况和x·d(x)∈Z且Z∩I≠{0} 的情况．得到了环R交换的一些新的条件.证明了下列结果：

定理A 设R是6- 扭自由的素环,I是R的非零理想,Z是环R的中心, 若存在非零导子d满足对任意的x∈I均有[x,d(x)]Z, 则环R为交换环.

定理B 设R是6-扭自由的素环，I是R的非零理想，Z是环R的中心，若存在非零导子d满足对任意的x∈I均有x2·d(x)Z且Z∩I≠{0}，则环R为交换环.

本文推广改进了上述结果.

本文中的环R均为结合环，用Z表示环R的中心.

引理1[3]设R是特征不为2的素环，I是R的非零理想，若存在非零导子d，满足对任意的x∈I均有[x2,d(x)]∈Z，则R环为交换环.

引理2[6]若Z为环R的中心，d为R的导子，则d(Z)∈Z.

2 结论及证明

定理1 设R是2-扭自由的素环，I是R的非零理想，Z是环R的中心，若存在非零导子d满足对任意的x∈I均有[x，d(x2)∈Z，则环R为交换环.

证明对任意的x∈I，由d为R的导子得，

[x，d(x2)]=[x，d(x)x+xd(x)]

=[x，d(x)]∈Z

由I是R的非零理想及引理1可知环R为交换环.

定理2 设R是2-扭自由的素环，I是R的非零理想，Z是环R的中心，若存在非零导子d满足对任意的x∈I均有x2·d(x)∈Z且Z∩I≠{ 0}，则环R为交换环.

证明由Z∩I≠{0}可知存在0≠c∈Z∩I，于是由对任意的x∈I均有x2·d(x)∈Z知对任意的x∈I，用c+x代x2·d(x)∈Z中的x，有(x+c)2·d(x+c)∈Z，从而有(x2+ 2xc+c)·d(x+c)∈Z，所以得

x2·dx+x2·dc+ 2xc·dx+ 2xc·dc+c2·dx+c·dc∈Z，

(1)

同样的用x-c代x2·d(x)∈Z中的x得

x2.dx-x2·dc- 2xc·dx+ 2xc·dc+c2·dx-c2·dc∈Z，

(2)

式(1)-式(2) ，得

2x2·dc+ 4xc·dx+ 2c2·dc∈Z.

(3)

由引理2知dc∈Z，故有2c2·dc∈Z，2x2·dc=4x2dc，从而由式(3)有

4x2dc+ 4xc·dx=4x2dc+ 4c(xdx+(dx)x)∈Z,

所以对任意的x∈I均有

[x, 4x2dc+ 4c(xdx+(dx)x)] = 4c[x,xdx+(dx)x] = 4c[x2,dx] = 0.

又R是2-扭自由的，c∈Z,故对任意的x∈I有[x2,dx]=0,由引理1可知环R为交换环.

参考文献：

[1] POSNER E C. Derivations in prime rings[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1957, 8: 1093-1100.

[2] MAYNE J． Centralizing mappings of prime rings[J]. CanadMath Bull．，1984，279: 122 -126.

[3] HUANG Y B，ZHU L S. On derivation of prime rings[J]. (PRC) of Math, 1994, 4:579-586.

[4] 王 立, 陈光海, 杜君花. 素环理想上的导子[J]. 哈尔滨理工大学学报, 2009, 14(5): 105-106.

[5] 杜君花, 王 立. 关于素环的导子[J]. 哈尔滨商业大学学报：自然科学版, 2013, 29(3):373- 374.

[6] 王 宇，张秀英. 素环上中心化广义导子[J]. 东北师范大学报：自然科学版, 2001, 33(2): 116-118.