基于PIV速度场测量重构压强场的研究进展

2014-03-30耿子海王万波李士伟

实验流体力学 2014年4期

王勇, 陈鹏, 耿子海, 王万波, 李士伟

(1. 中国空气动力研究与发展中心空气动力学国家重点实验室, 四川绵阳 621000; 2. 中国空气动力研究与发展中心低速空气动力研究所, 四川绵阳 622762)

0 引言

在空气动力学领域的很多实际工程应用中，人们经常关注于流场中压强分布信息的获取。其原因在于，压强是流场中运动物体产生升力和阻力的主要来源，同时压强脉动也是诱发结构振荡和产生噪声的主要原因[1-2]。

迄今为止，较为成熟的压强测量技术包括在物体表面布设测压孔测定壁面压强，或者利用皮托管类型的探针(如五孔或七孔探针)测量流场中某些感兴趣区域(如边界层)的压强。这些压强测量技术主要存在以下三个方面的缺陷：一是接触式测量，导致对原有流场的干扰；二是非瞬时测量，测量得到的压强值是一段时间内的平均值或者延迟值；三是有限点测量，即只能得到流场中若干测量位置处的压强值而不能得到较大范围内的压强分布。另一方面，空气动力学研究的很多领域期望能够对压强场和速度场进行同步测量，如湍流研究中雷诺应力输运方程的速压梯度张量的确定，但目前还缺乏这方面的实验技术。

近几十年来，粒子图像成像技术[3-4](Particle Image Velocimetry, PIV)作为一种非接触式流场测量和流动显示技术得到了快速的发展。通过PIV测量可以得到较大范围流场的瞬时速度分布，并可以据此得到诸如涡量等气动量或显示流场结构。PIV的诸多优点触发研究人员探索基于PIV的速度场测量发展空间压强场重构技术，以实现压强场的非接触式、高时间分辨率、较大范围、与速度场同步的测量。国外的一些仿真计算和风洞实验已经证明了该方法的可行性和有效性。例如，Gurka等[5]利用PIV测量得到的管道流动中的定常速度场获得了管道中的压强分布；Baur和Köngeter[6]利用高时间分辨率的PIV数据重构压强场，解决了壁挂式障碍物上脱落涡中的局部压强减少问题。此外，该方法还在单气泡[7]、燃烧室[8]、微管[9]、空腔[10-12]、圆柱[13]、方柱[14-16]、杆-翼组合体[17-20]以及可压缩流动[21-22]的研究中得到了广泛的应用。因此，这一领域的研究应引起国内同行的高度重视。

本文将综述基于PIV速度场测量重构空间压强场的基本原理、关键技术并介绍相关的研究成果和进展，进而探讨其发展方向，以期为该技术的进一步发展提供一定的参考。

1 基本原理

基于PIV速度场测量重构压强场技术具有坚实的理论基础，经典的不可压Navier-Stokes方程(密度为常数)：

(1)

其中DU/Dt是物质加速度，p是静压，经过变换可得到两种形式的压强梯度与速度场数据的关系，即拉格朗日(Lagrangian)形式[23-25]：

(2)

其中xp(t)和Up(t)分别是粒子质点在t时刻的位置和速度；以及欧拉(Eulerian)形式[6,26]

(3)

由上述两种形式可以看出，当由PIV测量得到速度场U后，可通过计算速度场的物质加速度DU/Dt和粘性项v2U得到流场的压强梯度变化。其中，粘性项v2U理论上可以通过估计粘性系数v和计算2U得到，但大量研究表明，对于高雷诺数流动而言，在远离边界区域，物质加速度要远大于粘性项，因而粘性项可忽略。例如，Liu[27]和Thomas等[28]在湍流的近尾迹流动实验中发现，雷诺平均的粘性项是物质加速度峰值的10-5。Liu和Katz[23]对空腔剪切流的研究表明，瞬时粘性项的值约比物质加速度低3个数量级，包含和不包含粘性项得到的压强分布之间的差异只有动压的0.008%。van Oudheusden等[21]对正方形圆柱的非定常涡流的研究也表明粘性项比物质加速度低2个数量级。Koschatzky等[12]对空腔流动的研究表明，在靠近空腔壁面的位置粘性项有较高的幅值，但仍比总加速度项低2个数量级。因此，忽略粘性项对计算的影响，压强梯度可表示为：

(4)

或

(5)

一旦通过PIV速度场测量数据计算出压强梯度后，理论上可以通过求解一个最小二乘问题得到压强场。对一定的采样网格，每个结点处的物质加速度和压强通过一个离散的微分方程组联系在一起，但是该方程组形成的矩阵方程是超定的。在求解该类矩阵方程的3种主要方法中：矩阵迭代法[29]的结果对初始值的设定很敏感并且松弛因子的选择也依赖于经验；而直接的矩阵求逆[30]和奇异值分解[31]则必须在计算过程中调用整个数值矩阵，该数值矩阵的最大存储需求可能高达18GB[23](对应于一个典型的具有2K×2K相机和220×220网格结点的PIV系统)，远远超出当前的计算机技术水平而使得这两种方法变得不可行。为避免这些问题，空间压强场的分布可通过对2D流动使用平面Poisson公式得到[5,32]或对压强梯度采用空间推进的侵蚀算法(spatial marching erosion)[6,33]进行直接空间积分，分别称为平面Poisson法和直接空间积分法。

平面Poisson法对压强梯度的平面散度公式(6)*向量函数g的平面散度公式为xy·g=∂gx/∂x+∂gy/∂y，其中gx和gy分别为g在x和y方向的成分。进行标准的5点离散化和高斯消元，并结合Dirichlet边界条件、Neumann边界条件计算空间的压强分布：

(6)

其中divxy=∂u/∂x+∂v/∂y是流场的平面散度(in-planedivergence)，Neumann边界条件中给定的压强梯度通常由式(4)或式(5)给出。公式(6)中前2个花括号中的量可以通过传统的平面PIV(planarPIV)测量结果直接计算得到，第3个花括号中的量包含z向的速度分量和导数，需要采用三维体测量技术(volumetrictechnique)进行求解。在严格的2D流动假设条件下，第3个速度分量及其速度梯度可以忽略；同时，根据连续性方程，不可压缩流体的速度场满足无散条件，即平面散度divxy=0，此时平面Poisson公式具有简单的形式：

(7)

直接空间积分法直接从给定的压强参考点(Dirichlet边界条件)开始对压强梯度进行积分得到压强分布，其中Dirichlet边界条件通过直接测量或由Bernoulli方程:

(8)

对无粘外流进行计算得到。

2 关键技术及进展

基于PIV速度场测量重构压强场技术虽然原理简单，在操作上也完全可行，但是在实际应用中仍面临诸多困难。概括来说，为了从PIV速度场数据计算得到准确可靠的空间压强场分布需要综合协调3个方面的关键问题：速度场测量、压强梯度计算、压强分布计算。

2.1速度场测量

基于PIV的压强场重构技术根据PIV得到的速度场数据来计算流场中的压强分布，速度场数据作为输入参量，其测量的精度直接决定着压强分布计算的精度，是该技术成功与否的第一个关键点。Liu和Katz[23]的分析认为，速度测量的精度对压强分布计算的影响比其它过程对压强计算的影响至少高1个数量级。

通常，由PIV设备根据一定的采集间隔Δt=1/facq(其中facq为PIV的采集频率)获取示踪粒子的若干瞬时图像后，在一定的查询窗大小(interrogation window-size)和重叠因子(overlap factor)条件下计算得到PIV速度场，在计算过程中还需剔除噪点对计算的影响。de Kat和van Oudheusden[32]的研究表明，为从PIV数据成功地计算压强分布，查询窗的大小相对流动结构要足够小(约小5倍)；大的重叠因子会增加压强计算的质量，但是当查询窗足够小时，重叠因子的影响减弱(如图1所示)；PIV的采集频率应比相应的流动频率(如Eulerian方法中的Eulerian时间尺度和Lagrangian方法中的Lagrangian时间尺度)高10倍。对空间分辨率(grid resolution)和时间分辨率(time resolution)的研究表明：计算误差依赖于流态和算法，并且分辨率并不是越高越好，而是有个适当的最优值。但在实际操作中，应采用较高的空间分辨率进行测量。de Kat和van Oudheusden的研究同时表明，噪声是最大的误差源，压强分布的计算误差随噪声量呈线性增长(见图2)，因此降低速度场的噪声水平能直接改进压强计算。

图1 压强重构的峰值响应与PIV空间分辨率的关系图[32]

图2 压强重构误差与速度测量误差的关系图[32]

Charonko等[34]针对PIV速度场测量对压强分布的影响进行了详细的研究，结果表明1%的速度偏差即可导致至多16.9%的压强梯度计算误差和大约10%的压强重构误差。另一方面，他们的研究还发现压强重构误差与速度测量误差近似呈线性增长趋势。由于目前PIV测量误差约为0.5%～5%，这将导致至多约60%的压强重构误差，这是不可接受的。因此，在计算压强梯度之前有必要对PIV速度测量误差进行适当的预处理。为此，Charonko等在同一个工作中考察了10阶低通FIR(Finite-duration Impulse Response)滤波器、拉格朗日最小二乘光滑器和本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)[35-36]光滑器3种方法在消除或减小测量误差影响方面的效果。结果表明(见图3)：所有方法在速度场无测量误差的情况下效果最好；当存在测量误差时，不对速度场数据进行预处理时压强计算的误差最大，而采用POD光滑器对测量误差进行预处理时能在所有考察误差水平下得到最好的压强计算。

(a)

(b)

2.2压强梯度计算

由第一节可知，在忽略了粘性项的影响后，可以通过两种方法来计算压强梯度，即拉格朗日方法和欧拉方法。

2.2.1拉格朗日方法

由公式(4)的拉格朗日方法计算压强梯度时，所有物理量是关于流场中某个确定的流体质点的。因此，采用该方法时，需要重构流体质点随流场运动的轨迹并进而估计它们在各自轨迹点上的速度和加速度。

对于PIV测量来说，确定每个流体质点在每幅图像中的粒子位置是困难的。因此，在实际操作中，研究者们基于速度场数据设计了不同的伪追踪算法(pseudo-tracking approach)来重构流动轨迹。

假设流体质点在t时刻位于空间x点处的速度为U(x,t)，Liu和Katz[23]根据下式确定该流体质点在t+Δt/2时刻位于x+UaΔt/2点处的物质加速度：

(9)

其中，

Ua(x+UaΔt/2,t+Δt/2)

(10)

为流体质点在t和t+Δt时刻之间的平均拉格朗日速度。de Kat和van Oudheusden[32]采用迭代算法重构2阶粒子路径并估计物质加速度：

(11)

(12)

其中xp是粒子位置，上标k是迭代步，公式(11)是粒子位置在时刻t关于时间间隔Δt的2阶展开。

在流场的边界处，拉格朗日方法采用线性向前或向后差分计算物质加速度。

2.2.2欧拉方法

由公式(5)的欧拉方法计算压强梯度时，所有物理量是相对于流场空间的固定位置的。在欧拉方法中，当地加速度和对流加速度可以通过对时间和空间进行二阶中心有限差分得到，即：

+O(Δt2)

(13)

+O(h2)

(14)

其中h是离散化网格间距，Δt是时间间隔，u是x方向的速度成分；对于y方向和z方向的当地加速度和对流加速度可以类似地得到。采用上述二阶中心有限差分计算x方向的压强梯度∂p/∂x的截断误差为：

(15)

其它方向压强梯度计算的截断误差可以类似地得到。公式(15)表明，为降低基于PIV的压强计算技术的截断误差，PIV设备应具有较小的时间间隔或较高的采样频率，同时离散求解速度场时应采用较细的网格划分以得到较小的网格间距。这也从理论上证明了de Kat和van Oudheusden[32]、Charonko等[34]的实验观察结果。

Liu和Katz[23]对2D空腔湍流场的研究表明，欧拉方法中当地加速度的值高于对流加速度，因此是物质加速度的主要贡献项。在流场的边界处，欧拉方法同样采用线性向前或向后差分计算物质加速度。

2.2.3拉格朗日方法与欧拉方法的对比

公式(4)和公式(5)是不可压动量方程的两种等价的表示形式，大量研究也表明基于公式(4)的拉格朗日方法和基于公式(5)的欧拉方法在计算压强梯度方面都是可行的。但是，对于实际的工程应用问题，到底是采用拉格朗日方法还是采用欧拉方法来计算压强梯度并没有定论，两种方法具有各自不同的优点和缺点，但更倾向于采用拉格朗日方法。Jakobsen等[37]针对波的传播问题对拉格朗日形式和欧拉形式确定物质加速度进行了比较分析，结果表明对于该问题而言拉格朗日形式优于欧拉形式，但是该结论只在一个很小的时间间隔范围内成立,并且当波撞击到竖直壁面时，拉格朗日形式存在偏置效应(bias effects)从而性能上劣于欧拉形式。Christensen和Adrian[38]在对流湍流问题中的研究发现，空间中某点处的物质加速度的量级约比速度的时间变化小1个数量级，因此更支持采用拉格朗日方法。de Kat和van Oudheusden[39]在仿真的高斯涡实验和真实的正方形圆柱扰流上的研究表明，拉格朗日方法和欧拉方法得到的结果没有明显的区别，但是拉格朗日方法对噪声和涡轴角度变化的敏感度低于欧拉方法，但受3D-PIV中z向照射范围的影响较大。de Kat和van Oudheusden[32]针对高斯涡流动和湍流流动的研究表明，当高斯涡位于视场边缘时，欧拉方法的效果较差而拉格朗日方法几乎不受影响；欧拉方法对噪声和平流运动更敏感，而拉格朗日方法由于难以重构复杂流动的运动轨迹，在流场中存在旋转运动时会出现困难。Violato等[19]、Tenneks[40]和Koeltzsch[41]的对比研究发现：只有在PIV的时间分辨率非常高的情况下，由差分方法计算的当地加速度才接近真值，否则将得出错误的结果。因此对于较大的PIV采集间隔时间，采用拉格朗日方法计算的压强误差比用欧拉方法的小。Violato等[19]的研究同时发现：拉格朗日方法对测量噪声不敏感；当要求压强梯度计算的相对精度误差小于10%时，欧拉方法不再适用。综合上述研究成果可以看出，相对于拉格朗日方法而言，欧拉方法对噪声更敏感、对时间分辨率的要求也更高，而这些因素正是当前PIV技术无法避免或急需改进的地方，因此我们更倾向于选用拉格朗日方法计算压强梯度。但是，当流动具有明显的三维特征或较快的加速度时，粒子会“逃离”于PIV视场范围以外，导致拉格朗日方法无法追踪到粒子位置而使算法失效，此时采用欧拉方法更合适。

2.3压强分布计算

由第一节可知，空间的压强分布可以通过平面Poisson法或直接空间积分法对压强梯度进行处理得到。对这两种方法的大量对比研究表明，平面Poisson法略好于直接空间积分法。其原因在于，从数学优化的角度来讲，Poisson方法可以看作压强梯度直接空间积分方法的全局最优解[22-25]。另一方面，压强场是一个标量场，对压强梯度的积分必须独立于积分路径，然而直接空间积分法的计算通常依赖于积分路径，为此Liu和Katz[23]通过对压强梯度进行全向积分(omni-directional integration)来消除对积分路径的依赖性，其本质是沿着所有可能的路径对压强梯度进行积分然后再对结果进行平均化。de Kat等[26]在正方形圆柱扰流中对平面Poisson法和直接空间积分法的比较研究发现(如图4所示)：两种方法得到的压强信号的功率谱在峰值位置和量级上都是一致的，而且两种方法得到的平均压强场也是一致的，但是两种方法得到的压强场均方根波动值有显著的差异，在流场的尾迹区域，直接积分法的噪声量比平面Poisson法多50%。de Kat等根据对直接空间积分法得到的圆柱下表面压强分布图(见图5)中的压强条纹的分析认为，直接空间积分法具有记忆特性(‘memory’-effect)，即它会沿着积分的行进方向传播和累积误差，从而导致其性能劣于平面Poisson法。

de Kat和van Oudheusden[39]在仿真的高斯涡实验中进一步发现，直接空间积分法相比平面Poisson法而言，对高斯涡轴的方向依赖性更强、对噪声的影响更敏感。然而，Charonko等[34]在仿真的涡流以及真实的扩散管内振荡流中对Liu和Katz[23]提出的全向直接空间积分法和平面Poisson法的对比研究发现：全向直接空间积分法在仿真流动和真实流动上的结果都一致地好于平面Poisson法，因此，他们认为对压强分布计算而言，没有唯一的或最优的方法，PIV确定空间压强分布的有效性依赖于流动类型。

3 研究展望

基于PIV速度场测量重构空间压强场技术经过十几年特别是近五年来的发展，已经取得了很大的进展并在实际的工程应用中得到了一定的推广，显示出较多的优越特性，但是该技术的成熟度并不高，有很多实际问题需要进一步解决，因此离真正的实用化还任重而道远。

(a) 正方形圆柱底部

(b) 正方形圆柱尾部

3.1PIV速度测量的改进

流场中速度场测量的准确度直接关系着基于PIV的压强计算技术的准确度。但是，当采用PIV进行速度场测量时，在靠近物面位置，物面对激光的反射以及物面的边缘效应[25]会导致PIV成像的质量变差进而给速度测量带来很大的误差，对该问题的解

决依赖于极低反射率表面涂层材料的研发。另外，在靠近物面位置，由于速度较低(理想情况下物面上速度为零)，测量的相对误差会较大，如何得到该区域准确的速度分布甚至得到壁面的压强波动还需要对PIV算法本身进行改进。文献[42]中正式提出了三脉冲PIV(Triple-Pulse PIV)技术，它在现有的双脉冲PIV(Double-Pulse PIV)的基础上额外引入了一组激光脉冲(第二组激光脉冲位于第一组和第三组激光脉冲之间的1/3处)，通过与三阶相关分析(third-order correlation analysis)相结合，可以得到粒子位置和速度的更准确的测量，同时可以直接测量加速度，是提高PIV速度场测量准确度、通过加速度重构压强场的潜在发展方向。

3.2参数的优化设置

现有的研究主要集中在考察基于PIV速度测量计算压强分布的可行性上，还较少涉及对该技术关键参数的设置与选取的系统分析和研究。如第二节所述，PIV采集频率、图像处理时查询窗大小和重叠因子、测量噪声点等都会对速度场测量带来很大的影响，进而会降低最终压强分布计算的精准度。另一方面，采用离散化方法计算压强梯度并计算压强分布时，其中的参数设置(如时间间隔、网格大小等)也会影响最后的计算结果。因此，研究在一定的准则下对参数进行优化选取是一个有意义的方向，例如在控制住截断误差的情况下研究参数的优化设置。

3.3算法的改进与创新

现有的速度场、压强梯度、压强分布的计算方法虽然在原理上是可行的并在实际使用中也能得到合理的结果，但还有很多细节值得进一步挖掘。例如，de Kat和van Oudheusden[32]对正方形圆柱附近湍流场的研究表明，采用现有的PIV压强重构技术，获取的压强场精度约为5%(以压强传感器的测量结果作为真值)、准度约为20%(均方根误差)。如何进一步提高现有技术的精准度，是一个很有意义的研究方向，迫切需要研究其它的新颖算法来更好地计算空间压强分布。例如，PIV后期数据优化处理技术、拉格朗日方法计算复杂流动区域压强梯度的技术、离散方法中差分格式的选取、不依赖于积分路径的直接空间积分方法等。

3.4探索并完善3D压强分布计算

受技术条件和算法自身的限制，现有的压强分布计算方法还局限于对2D流动结构的研究或者必须采用2D流动假设，但并未考虑2D假设的合理性以及2D近似对结果的影响，更少触及3D流动对基于PIV的压强计算技术新要求、新特性的探索。PIV测量技术的发展与进步，如全息PIV(Holographic PIV)和层析PIV(Tomographic PIV)等[43-45]，使得三维体测量在精度和空间分辨率上都有了较为理想的实验结果，为考察3D流动条件下的压强分布技术提供了可能，因此未来还需要在3D压强分布计算技术方面进行不断地探索与完善。

3.5可压缩流动条件下的压强重构技术

由于难以从流动中估计流体密度的变化，现有的基于PIV的压强重构技术大多局限于不可压缩流动条件下的压强重构问题。可压缩流动条件下，流体密度和粘性项均未知，并且平面流场不满足无散条件(即divxy=0)，因此平面Poisson简化公式(7)不再有效，同时也不能再利用公式(4)和公式(5)计算压强梯度。此外，可压缩流动情况下，由于激波和稀薄剪切层的存在，使得准确的速度测量变得异常困难[25]。van Oudheusden和Scarano等[21,22]初步探讨了定常可压缩流动条件下的PIV压强重构技术，在绝热流动并忽略粘性项的假设下，结合气体法则得到了一个类似于公式(1)的动量方程，并将该技术应用于超声速流动下翼型的气动载荷计算。然而，如何开展一般条件下的可压缩流动的PIV压强重构仍是一个开放性问题。

4 结论

基于PIV速度场测量重构空间压强场分布是一种新颖的非接触式、大范围、高时间分辨率的压强计算技术，在原理上是可行的，在初步的理论与实验研究中也显示出优良的效果。但是，在实际操作和技术实现上还有很多细节需要完善和发展，离真正的实用化还有较大差距。相信随着技术的进步和研究的深入，该技术将逐步实现工程化应用。

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