基于Bergman-Selberg核的固定平移因子时的复高斯小波变换像空间

李莎莎,吕俊良

基于Bergman-Selberg核的固定平移因子时的复高斯小波变换像空间

李莎莎1,2,吕俊良2

(1.大庆师范学院教师教育学院,黑龙江大庆163712;2.吉林大学数学学院,吉林长春130012)

在固定平移因子时,利用复Gauss小波变换像空间的再生核具体表达式和再生核空间相关理论,给出了复Gauss小波变换像空间中的等距变换和采样定理,这为进一步研究一般的小波变换像空间提供了新的方向。

小波变换;Bergman-Selberg核;复Gauss小波;平移因子

0 引 言

小波分析在当前数学领域中的发展十分迅速,它是继Fourier变换之后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典范,享有“数学显微镜”的美称。同时,小波变换也是调和分析这一重要科学大半个世纪以来的工作结晶,具有理论和实践的双重价值[1-4]。它能够有效地从信号中提取有用信息,解决了Fourier变换不能解决的许多难题.到了20世纪90年代,小波变换受到了科学家和工程师的广泛关注,在信号分析、图像处理、模式识别、语音合成、方程求解等领域都取得了具有科学意义和应用价值的重要成果。近年来复小波变换在地理环境科学,局放信号特征的提取等方面的研究都取得了一些重要成果,应用效果十分良好[5-7]。

再生核Hilbert空间是连续小波变换的基础[7-10],连续小波变换中存在信息表述的冗余度,小波变换系数在小波变换像平面上都具有一定的相关关系;相关区域的大小由再生核给出;并且随着尺度的减小,其相关区域减小[11]。所以在小波的实际应用中,可以根据再生核的结构来选择最合适的小波基。现在见到的相关文献大部分是固定尺度因子时,对相关像空间的描述,对固定平移因子的相关文献还比较少,文献[16]已经在固定尺度因子的时候,给出了复数形式的Gauss小波变换像空间的再生核具体表达式和相关的等距变换。本文借助Bergman-Selberg核来描述该空间,在固定平移因子的时候得到了像空间的相应等距变换和采样定理,这为进一步了解小波变换的像空间提供了新的方向。

1 预备知识

定义2.1[12]设H是Hilbert函数空间,其元素是某个抽象集合E上的实值或复值函数,内积用下式表示

若对任意固定的q∈E,存在一个K(p,q)作为p的函数是H中的元素,而且对任意的f∈H及q∈E有

则称K(p,q)是Hilbert函数空间H的再生核,称H是再生核空间。

引理2.1[13]对∀f,g∈L2() R,有

其中a,b∈R,a≠0。

引理2.2[14]

其中

K(a,a0,b,b0)称为再生核,它度量了两个分析小波ψa,b(t)和ψa0,b0(t)的相关性.

引理2.3[15]对于E上的再生核Hilbert空间HK和E上任意的非零的复值函数s(p),Ks(p,q)= s(p)s(q)K(p,q),p,q∈E,是Hilbert空间HKs的再生核,其中HKs是由E上所有形如下式的函数fs(p)构成

且HKs具有内积

由定义1.1可知Ks(p,q)为Hilbert函数空间HKs的再生核.

引理2.4[16]复Gauss小波变换像空间的再生核函数为

其中

2 固定平移因子时,复Gauss小波变换像空间的具体描述

复Gauss小波母函数为

其Fourier变换是

易知ψ(x)满足可容许条件。

复Gauss连续小波函数为

对∀f∈L2(R),复Gauss小波变换为

在(6)式中考虑a＞0,且令A=a+bi,Z=x+yi,上式可推广为下面的复数形式

有了上式我们就可以给出关于A的函数(Twavf)z(A)的等距恒等式。但为了简化,可以先考虑z为的情况,即

关于a的函数f的偶部为

则(Twavf)a(A)可以表示为

并且,对任意固定的a,

在由所有关于点a的偶函数所构成的L2(R)的子空间中完备,因此对任意固定的a及L2(R),像 (Twavf)a(A)可被看作为Hilbert空间HKa中的元素。这里HKa是由上的所有解析函数构成且具有再生核式(9),关于点a的函数f的偶部fe,a有等距恒等式

下面来确定具有再生核式(9)的Hilbert空间HKa,对于

是Bergman-Selberg空间HK(q)的再生核,其中HK(q)是由在右半平面R+={Rez＞0}上的所有解析函数f(z)构成。当q=1时,对于Bergman核KB(z,u)=K(1)(z,u)具有有限范数

HK(q)中的元f为q阶解析微分,并且对任何从R+到区域R*的保角映射z*=φ(z),有等距恒等式

其中,z*=x*+iy*,且有

同时对R+和R*上Bergman-Swlberg核,有

成立。

由保角映射Z=A2,有

和

由这些恒等式得到下面的定理。

定理4.1对任意实数x及f∈L2(R),式(7)的像(Twavf)a(A)是在上解析的,并且有

以及关于Z的函数f的偶部fe,x的等距恒等式为

证明:令

则有

进一步,有

定理得证。

3 采样定理

小波分析理论提供了多尺度分析的方法,即函数族

构成了一个L2(R)完全正交系。因此,对L2(R)进行小波变换而得到的复高斯小波变换的像空间H就比较容易实现,并且在像空间H中,对于实半平面的{(a,x ),a,x∈R,a＞0}上的点{(2j,2jk)j,k∈Z}插值公式成立。

事实上,由于公式(13)在L2(R)中是一个完全正交系,所以L2(R)中的元f可由函数系张成,即

那么,有

上式即为复高斯小波变换的像空间HK的插值公式。利用再生核K(a,b;a′,b′)的有界性,可以得到复高斯小波变换的小波变换像空间HK的插值公式还可以等价的描述为

定理4.2 对L2(R)中的函数,复高斯小波变换的小波变换像空间HK有如下性质:对任意g(2j,2jk)∈l2,j,k∈Z

其中,(15)中的和式取自于Hilbert空间HK,(15)式在{(a,x ),a,x∈R,a＞0}上是一致收敛的。

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O29

A

2095-0063(2014)06-0040-05

2014-09-12

李莎莎(1982-),女,黑龙江大庆人,大庆师范学院教师教育学院讲师,从事小波分析研究。基金项目:黑龙江省自然科学基金(2011C103)。

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2014.06.011